假如有一个半径为1的球体，其球心为一个足够大的正四面体的一个顶点，他们的重合部分体积为多少

可以说人类的思维就象如同在黑洞里的虫子一样上钻下钻左钻右钻而难以钻出自身所受困绕约束之范畴似的了，由此而难以能感受到除此之外还有另洞范畴存在之感觉之悟的景况而相差无异了！
黑洞里面是什么?
“黑洞”很容易让人望文生义地想象成一个“大黑窟窿”，其实不然。所谓“黑洞”，就是这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。根据广义相对论，引力场将使时空弯曲。当恒星的体积很大时，它的引力场对时空几乎没什么影响，从恒星表面上某一点发的光可以朝任何方向沿直线射出。而恒星的半径越小，它对周围的时空弯曲作用就越大，朝某些角度发出的光就将沿弯曲空间返回恒星表面。等恒星的半径小到一特定值时，就连垂直表面发射的光都被捕获了。到这时，恒星就变成了黑洞。说它“黑”，是指它就像宇宙中的无底洞，任何物质一旦掉进去，“似乎”就再不能逃出。实际上黑洞真正是“隐形”的，等一会儿我们会讲到。那么，黑洞是怎样形成的呢？其实，跟白矮星和中子星一样，黑洞很可能也是由恒星演化而来的。我们曾经比较详细地介绍了白矮星和中子星形成的过程。当一颗恒星衰老时，它的热核反应已经耗尽了中心的燃料，由中心产生的能量已经不多了。这样，它再也没有足够的力量来承担起外壳巨大的重量。所以在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体，重新有能力与压力平衡。质量小一些的恒星主要演化成白矮星，质量比较大的恒星则有可能形成中子星。而根据科学家的计算，中子星的总质量不能大于三倍太阳的质量。如果超过了这个值，那么将再没有什么力能与自身重力相抗衡了，从而引发另一次大坍缩。这次，根据科学家的猜想，物质将不可阻挡地向着中心点进军，直至成为一个体积趋于零、密度趋向无限大的“点”。而当它的半径一旦收缩到一定程度，正象我们上面介绍的那样，巨大的引力就使得即使光也无法向外射出，从而切断了恒星与外界的一切联系——“黑洞”诞生了。与别的天体相比，黑洞是显得太特殊了。例如，黑洞有“隐身术”，人们无法直接观察到它，连科学家都只能对它内部结构提出各种猜想。那么，黑洞是怎么把自己隐藏起来的呢？答案就是——弯曲的空间。我们都知道，光是沿直线传播的。这是一个最基本的常识。可是根据广义相对论，空间会在引力场作用下弯曲。这时候，光虽然仍然沿任意两点间的最短距离传播，但走的已经不是直线，而是曲线。形象地讲，好像光本来是要走直线的，只不过强大的引力把它拉得偏离了原来的方向。在地球上，由于引力场作用很小，这种弯曲是微乎其微的。而在黑洞周围，空间的这种变形非常大。这样，即使是被黑洞挡着的恒星发出的光，虽然有一部分会落入黑洞中消失，可另一部分光线会通过弯曲的空间中绕过黑洞而到达地球。所以，我们可以毫不费力地观察到黑洞背面的星空，就像黑洞不存在一样，这就是黑洞的隐身术。更有趣的是，有些恒星不仅是朝着地球发出的光能直接到达地球，它朝其它方向发射的光也可能被附近的黑洞的强引力折射而能到达地球。这样我们不仅能看见这颗恒星的“脸”，还同时看到它的侧面、甚至后背！“黑洞”无疑是本世纪最具有挑战性、也最让人激动的天文学说之一。许多科学家正在为揭开它的神秘面纱而辛勤工作着，新的理论也不断地提出。不过，这些当代天体物理学的最新成果不是在这里三言两语能说清楚的。有兴趣的朋友可以去参考专门的论著。
黑洞里面是什么，是另一个世界吗？
现在没人能证明，都是猜想：想象一下，有一种情况：我们现在见到的光，在宇宙中传播的时候不是一条直线，而是弯曲的至于弯曲的原因，相对论上讲是由于引力引起的，?姑且不知道真假，但是暗物质是的确存在的。至于黑洞是什么，?倒是我认为?那是我们所观测宇宙之外的一部分，?就像坐井观天一样，看到的外太空的一部分【有比光更快捷、更大范围的东西，人感知不到而归为暗物质了】，这部分“天空”面积很大，只不过我们“看到的”虚拟的把它认为是一个狭小的空洞了，?然我们感觉到，就像，一个瞎了的青蛙坐在井里，感知外面，这部分怎么没水呢，是不是由于引力太大把水吸干了？我们宇宙可能就是个球，也可能就是一个别人玩的布娃娃，我们只是其中的一颗电子罢了，时钟系也不一样。
黑洞里面究竟是什么？
关于黑洞里面有什么物理学界有两种假说：一是史瓦西提出的白洞理论，认为白洞是黑洞的对立面，连接黑洞和白洞的就是虫洞；二是霍夫特的全息宇宙模型，认为黑洞吸收的一切都被重新编码在黑洞的视界上，所以黑洞里面的一切都是这个二维平面的投影。
黑洞的里面是什么东西?
黑洞是广义相对论预言的一种特殊的天体。其基本特征是有一个封闭的视界。任何东西，包括光在内，只要进入视界以内都会被吞噬掉
黑洞的概念最早出现是1798年，当时拉普拉斯根据牛顿力学计算出，一个直径为太阳250倍而密度与地球一样的天体，其引力足以捕获其发出的光线而成为一个暗天体。1939年，奥本海默根据广义相对论证明一个无压球体在自身引力作用下能坍缩到引径rg。rg=2GM/当天体的质量M大于临界质量Mc时，引力坍塌后就不可能达到任何的稳态，只能形成黑洞。黑洞只有三个特征量分别是质量M、角动量J和电荷Q。Q=0的黑洞为轴对称的克尔黑洞，J=Q=0时的黑洞为球对称的史瓦西黑洞
1974年，霍金证明黑洞具有与其温度相对应的热辐射，称为黑洞的发射。黑洞的质量越大，温度越低，发射过程就越慢，反之亦然
找寻黑洞是当代天文学的一个重要课题。银河系内的恒星级黑洞候选者有天鹅座X-1等。另外天文学家们还发现大星系的中心通常会隐匿着一个百万太阳质量以上的巨型黑洞。如在超巨星系M87的中心就很可能隐匿着质量达30亿个太阳的黑洞。而按照大爆炸学说，在宇宙形成早期可能会产生一些质量为10的15次方克的小黑洞
。

4+2(根号6)/3
四个球两两外切，高可分为三段求解
其一：
球心两两相连可构成边长为2的正四面体，高为2(根号6)/3
其二：
小正四面体下底面距外接四面体下底面有一个半径的距离，为1
其三：
最上面的小球球心距外接四面体的顶点距离为半径的3倍，为3
（可在一个球的外接四面体的问题中证明，球心是高的四分点）
加总：4+2(根号6)/3

1．球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．

（l）第一步：分割．

用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．

（2）第二步：求近似和．

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值．

（3）第三步：由近似和转化为精确和．

当 无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积．

（具体过程见课本）

2．定理：半径是 的球的体积公式为： ．

3．体积公式的应用

求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．

球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的 倍（即球体对角钱的一半）；棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ，外接球半径为 ．
也可以用微积分来求，不过不好写

推导圆球的体积和表面积计算公式的过程是这样的：
假设圆球的半径和圆柱的底面半径相等，都为r，则圆柱的高是2r，或者是d，再用字母和符号表示出圆柱的体积和表面积计算公式，然后分别乘 ，就得出圆球的体积和表面积，最后进行整理。具体过程如下：
V圆柱=πr2×2r
=πr2×（r r）
=πr3×2
V球=πr3×2×
= πr3
S圆柱=πr2×2 πd×d
=πdr πdd
=(r d) πd
=3r×2πr
=6πr2
S球=6πr2×
=4πr2
这样，圆球的体积和表面积的计算公式就都得出来了

需要用到分块重积分法，过程很复杂，可参考有关重积分的书籍～当然，也可以采用微分法，将球体表面分为无限多个小圆，每个小圆与球心构成圆锥，应用圆锥体积公式可推知球体体积为表面积与半径的乘积的三分之一，运用球体表面积公式即可得到球体体积公式～只能解释到这里了～重积分法太复杂不好写输入～

正四面体棱长为a

内切球半径为12分之根号6倍a；外接球半径4分之根号6倍a。
正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上，而这一点是四面体其中两平面作垂线的交点O。可用截面方法求出垂线长度h为三分之根号6倍a。然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥（交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线，把四面体分成四份，每份为一个小三棱锥）从所合成的。利用等体积法，四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可很容易求出小三棱锥的高，三棱锥的高即内切球半径，h减去内切球半径即外接球半径。
高=内切球半径+外接球半径 即3分之根号6倍a