一个棱长为a的正四面体，里面有一个半径为r的球自由滑动，求小球未滑过的体积

解：设正四面体棱长为a,顶点为A,高为AM,球心为O.则有AM^2=[(√3a)/2]^2-[(√3a)/6]^2
得AM=AO+OM=R+OM=(2a√6)/6①
有OM/R=1/3②
由得①②a=4R/(a√6)
又因为可求底面S=[（√3)/4]*a^2
v=(1/3)*S底面*AM=(√2)/12a^3
∴所求其内接正四面体体积v={(8√3/27]*R^3
完毕.

这个题采用补形的方法。
你应该知道这个吧？
在正方体中可以放进一个正四面体，
且正四面体的四个顶点是正方体八个顶点中的四个，
若正方体的棱长为a，那么正四面体的棱长即为(√2)a
解：
将半径为
R
的球内放一个内接正方体，
设正方体的棱长为
a
，则显然正方体的体对角线就是球的直径
所以：R
=
√3/2
a
再在正方体中内接一个正四面体，
显然，正方体中内接的正四面体也是球的内接正四面体
则正四面体的棱长就为：
√2
a
，
底面积:S
=
1/2×sin60°×2a^2=
√3
/2
a^2
在侧棱与高，与底面组成的直角三角形中，
高
H
=
√(2a^2
-
2/3
a^2)
=
2√3/3
a
体积
V
=
1/3
SH
=
1/3×
√3
/2
a^2
×
2√3/3
a
=
1/3
a^3
又
R
=
√3
/2
a，a
=
2√3/3
R
V
=
1/3
a^3
=
8√3/27
R^3

解：可以先设棱长为4的正四面体的外接球的半径为r,再利用中间变量即其内切球半径为r
算出。

具体的要画图啊！！不好意思！图形不好画上来只能文字表示了！！

∵棱长为4的正四面体，则有其各个面为等边三角形，又正四面体的外接球（内切球）的圆心在正四面体的高线上，且
高线h=r+r
；再选正四面体的一个面入手利用等边三角形算出等边三角形的高为
2倍根3
，

又由等边三角形高线的交点为其三等分点，则可算出其三等分中占两份的线段
=(4倍根3)/3,
再与棱长为4构成直角三角形，算出正四面体的高
=（4倍根6）/3,则有h=r+r=(4倍根6）/3……①

而
正四面体的外接球半径r
以及
正四面体的内切球半径r、等边三角形高线的三等分中占两份的线段=(4倍根3)/3可以组成一个直角三角形，则由勾股定理有：r²+r²＝[(4倍根3)/3]²……②

由①②联立则可以算出：
正四面体的
外接球半径r=根6
以及正四面体的
内切球半径r=(根6)/3;

最后由球体体积公式v=(4πr³)/3=（8倍根6）π
。

你好！！！有哪里错了或者不懂的吗？？？

s=4/3 π a a a
a=Γ3 r/4
a最大应该是正四面体中心点到各个面的距离

S=4x（r²-1/4πr²）
=4r²-πr²

谢谢~