如何求解均匀介质球在均匀外场中的极化

（一）体极化的边界条件

已知在均匀场中单个球形面极化体等效于一个电流偶极子，而体极化为许多小面极化颗粒的体分布，这些小颗粒周围的电场可近似地看成是均匀的，它们皆等效于一个电流偶极子，故可将体极化看成是许多等效电流偶极子的体分布。而单个颗粒面极化的强度可用等效电流偶极矩pi表示。因此，体极化强度P可用单位体积内的等效电流偶极矩来表示，P=

pi/V（pi表示第i个颗粒的等效电流偶极矩，求和号“∑”上的n表示体积V中的极化颗粒数）。P称为体极化的极化强度∙∙∙∙，为一矢量，其方向从总的等效电流偶极子的负源指向正源。

在激电法实际工作中所用的小电流密度条件下，体极化为线性的，即P与总场电流密度j成正比，而方向相反。写成等式：

P=-ηj（1⁃3⁃135）

这里比例系数η便为表征体极化效应的参数——极化率（后面证明）。电流偶极矩pi的单位为安培·厘米；极化强度P为单位体积内的等效电流偶极矩，单位为安/厘米2，即与电流密度j具有相同的单位。

下面来看极化强度P的另一个含意。为此，考虑一个很小的柱状体极化单元，见图1⁃3⁃18。其截面面积为S，长度为l，极化强度P沿柱体的轴向。按定义，P=

（V=S×l，为柱体的体积；分子上p为极化柱体的等效电流偶极矩）。当柱体足够小时，其内部总可以认为是均匀极化的，因而等效电流集中于柱体的两端，设各为+i和-i，则p=i×l。因此：

地电场与电法勘探

该式表明，体极化时，极化强度P在数值上等于截面上等效电流源的面密度jJ。可将这一结论推广到一般情况，即任何体极化体的表面上，均呈现出等效电流源，其面密度在数值上（包括正负号）等于该处极化强度在界面外法线上的投影（或分量）Pn，即

jJ=Pn（1⁃3⁃136）

从上面的讨论可知，体极化的极化单元分布于整个极化体内。宏观看，在体极化体表面上不存在激电双电层。故若两种体极化介质Ⅰ（ρ1，η1）和Ⅱ（ρ1，η1）接触时，见图1⁃3⁃19，则在界面两侧，总场电位应是连续的。由此得出体极化时总场的第一个边界条件：

U（1）=U（2）（1⁃3⁃137）

图1⁃3⁃18 柱状体极化单元

图1⁃3⁃19 两个体极化介质的接触面

第二个边界条件为有关电流密度的连续性条件。由于界面两侧极化强度P（1）和P（2）一般不相等，故在界面上呈现出剩余的等效电流源。设n为介质Ⅱ的外法线方向，则在界面上同一点介质Ⅰ的外法线方向为-n。于是有

地电场与电法勘探

这里

和

分别为P（1）和P（2）在法线方向n上的分量。由此得出界面上总的（或剩余的）等效电流源面密度为：

地电场与电法勘探

而

地电场与电法勘探

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故

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由于界面上存在剩余的等效电流源，故总场电流密度法向分量不连续，并且

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将（1⁃3⁃138）式代入上式，稍加整理便得体极化总场的第二个边界条件：

地电场与电法勘探

或

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为了对比，现将面极化总场、体极化总场和无激发极化之一次场的各边界条件列于表1⁃3⁃1。

表1⁃3⁃1 稳定电流场的边界条件对比表

比较表1⁃3⁃1中U1和U的边界条件可以看出，若在体极化总场的第二边界条件中，将

换成

，

换成

，则两者边界条件形式上完全相同；再考虑到距外电流源（即供电电极）无限远和无限近的极限条件，则可证明，经过上述代换后，体极化总场和一次场电位的解在形式上也完全相同。由此得出结论：只要将无激发极化的一次场电位表示式中各介质的电阻率ρi（i=1，2，3……）换成

，便可得到体极化总场电位的表达式。这里

称为第i种介质的“等效电阻率”，并且：

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这便是前面已经讲过的体极化条件下，由一次场的已知解通过代换求总场的“等效电阻率法”。这里再次得到了证明。

（二）体极化球体的激电场

对于电阻率为ρ1的均匀半空间中，有一个半径为r0，电阻率为ρ2的球体时，在均匀外电流场作用下球外一次场电位的表达式，已知为

地电场与电法勘探

令体极化球体的极化率为η2，围岩的极化率η1=0（不极化），则由“等效电阻率法”将一次电位表达式中的ρ2用

=

代换后，可写出极化总场电位的表达式：

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（1⁃3⁃141）式和（1⁃3⁃61）式相减，可得二次场电位的表达式：

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进而将

=

代入U2式并经简化后可得：

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若将U2写成：

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式中

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则上两式表明，体极化球体激电二次场在球外的分布与一个位于球心的电流偶极子的电场相同。其强弱由等效电流偶极子的电流偶极矩 PV表达。从（1⁃3⁃144）式可看出内容。

（1）PV与j0成正比，即二次场随外电流密度增大而增强。

（2）PV与

成正比，即体极化球体的体积越大，二次场就越强。这充分体现了体极化的特点。

（3）PV近似与 η2成正比，即球体极化率值越大（体极化效应越强），二次场就越强。

（4）PV随

的变化较复杂：在良导电

和高阻

体极化体上，PV（因而二次场）都趋于零；而在某个中等大小的相对电阻率值（对球体是

），PV（因而二次场）最强。它可借助于等效电阻率法，由一次场随相对电阻率变化的“饱和效应”（赛吉尔 H O，1965）来解释。

为了求得体极化球体在交流电场作用下总场电位表达式，则只需将一次场表达式中的电阻率换成用柯尔⁃柯尔模型描述的复电阻率即可。当围岩不极化时，ρ2用 ρ2（iω）替换。

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式中ρ20——球体的零频电阻率，即极限等效电阻率；m2——球体的（真）充电率，即极限极化率η2；c2——球体的（真）频率相关系数；τ2——球体的（真）时间常数。

将（1⁃3⁃61）式中的ρ2换成等效（复）电阻率ρ2（iω），并将外电场E0=ρ1j0改写为交变电场的形式

，则可得频率域中总场电位的表达式：

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由具有频散形式的总场电位（1⁃3⁃146）式便可分解出它的实分量、虚分量、振幅和相位表达式。