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位移加速度再谈

时间: 2021-10-03 16:38:55 | 作者：御伫之 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 94次

位移加速度再谈

在《位移加速度》中我们推导完公式后会发现，当 v_{0}=0 时，公式变得发散，无法使用。但在没有这个条件时，公式实际依然具有较强的包容性。这将在下文中举例说明。

牛顿爵士在《自然哲学的科学原理》中写道：“如果一个物体受到的阻力与速度成正比，则阻力使它损失的运动正比于它运动中所掠过的距离。”我们将这句话翻译一下：

设有阻力 bm{f} ，速度 bm{v} ，位移 bm{x} 。若 bm{f}bm{propto}bm{x}，则 bm{Delta v}bm{propto}bm{Delta x} 。

这句话中似乎隐约透露出了一些位移加速度的影子。让我们先证明这句话：

假设一个运动的物体，仅受一个阻力且阻力正比于运动速度（在这里我们忽略掉负号）： F=kv

那么根据 F=ma ，不难推出： a=frac{F}{m}=frac{kv}{m}

取时间微元 dt 。根据 dv=a, dt 得到： dv=frac{kv}{m}cdot dt

变形得： dt=frac{m}{kv}cdot dv

又根据 dx=v, dt ，易得： dx=vcdotfrac{m}{kv}cdot dv=frac{m}{k}cdot dv

变形得： frac{dx}{dv}=frac{k}{m}

根据《位移加速度》中的定义 A=frac{dv}{dx} 亦可得到： A=frac{k}{m}

由此，可以确定牛顿爵士的这句话描述的正是位移加速度。已知位移加速度中的公式之一： Delta v=AcdotDelta x ，便证明结束了。

不要小看这句话的威力。利用它，只要是力与速度成正比的变力问题都可以迎刃而解，可以跳过使用时间加速度时产生的许多赘余步骤（通常会使用到微积分）。我们举一个例子来说明这个结论的简便性。在这里，法一使用经典的时间加速度解答，法二则另辟蹊径使用位移加速度解答。

题目：质量0.5t的皮划艇，在水面上以30m/s速度滑行，所受阻力与速度成正比，其比例系数为200N·s·m-1,求关闭发动机后还能行驶多长距离？

法一：已知 f=-200v 。综合各式可得:

a=frac{dv}{dt}=frac{f}{m}=-frac{2}{5}v

即： frac{1}{v}dv=-frac{2}{5}dt

两端积分并代入初始条件可得： v=30e^{-frac{2}{5}t}

可以知道当 trightarrow+infty 时有 vrightarrow0 （即实际上船永远停不下来，但不用数学上的角度而以实际的眼光来看，在到达某一时间点时可以近似认为船已经停下）。上式两端同时乘以 dt 并同时积分： int_{}^{}v,dt=int_{}^{}30e^{-frac{2}{5}t},dt

再一次代入初始条件可以得到： x=75(1-e^{-frac{2}{5}t})

当 trightarrow+infty 时有xrightarrow75 。也就是说，船还能再多走75米。

法二：利用牛顿爵士的结论，可以得到： A=-frac{k}{m}=-frac{2}{5}

注意这里的力是阻力，与运动方向相反，所以前置负号。又由 Delta v=AcdotDelta x 可以得到：

Delta x=frac{Delta v}{A}=frac{0-30}{-frac{2}{5}}=75

所以船还能再多走75米。

不难看出，法二比法一要简单太多，省略了微积分，不需要考虑极限，分析过程也简洁不少。因此，在实际解题时，遇到力与速度成正比的运动学问题，不妨多考虑一下使用位移加速度。

文章标题: 位移加速度再谈
文章地址: http://www.xdqxjxc.cn/jingdianwenzhang/124550.html
文章标签：加速度  物理科普  物理学
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