时间: 2021-07-23 16:27:31 | 作者:遥相辉映的战士 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 117次
因为计算过程会出现双曲函数,所以先简单了解一下双曲函数
在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 和双曲余弦函数 ,从它们可以导出双曲正切函数 等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数,有反双曲正弦函数 ,反双曲余弦函数 ,反双曲正切函数 。
双曲函数的定义和三角函数有如下关系
是虚数单位
和 都是奇函数, ,
是偶函数,
双曲正弦和双曲余弦导数关系:(求导方式就是把虚数单位 当成常数,其它步骤一样)
双曲函数还可以用指数函数来表示
根据欧拉公式
得
即 ,
接下来看悬链线
悬链线是一根密度均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上,受重力的作用自然下垂后形成的曲线
既然能保持平衡,那这根绳子上一定处处都满足二力平衡。绳子受到重力以及自身张力
假设一条不可伸长的线密度为 的绳子处于重力加速度为 的重力场中,取绳子上某一小段受力分析,这小段在 轴上的投影是
小段绳子和水平面夹角的正切值就是悬链线方程在那一点的导数
可以证明,这段绳子的长度为
图为受力分析
所受重力为 ,受到的它前面那段绳子的拉力为 ,且 ,它对后面那段绳子的拉力为 。所以这段绳子受到的合力为
,所以 ,横向的张力是一个定值。又有 ,且,所以
就得到了悬链线的微分方程
分离变量 ,
令 ,即 , 是虚数单位
所以
,
把 记为 ,得到悬链线方程
可以看出 , 和坐标原点的选取有关,如果把悬链线的顶点选在坐标原点(顶点 )那么 , ,悬链线方程为
也可以用指数函数表示
悬链线的方程和密度 以及重力加速度 的大小无关。如果原先定好了铁链的长度是 的话可以通过 求出 ( , 是两个悬挂点的位置)。不过也只能得到 没法用初等函数表示出 的形式
补充一下
如果这根绳子不是不可伸长的绳子,而是符合胡克定律的弹性绳,而且下垂时每一段小绳子只会在纵向发生形变(其实这种性质更像纵向变形的均匀杆)。
这种绳子只有纵向张力没有横向张力。纵向张力满足 ,这种绳子自由下垂形成的曲线是抛物线
证明如下,假设绳子的线密度是 ,重力加速度是
绳子的合力
得 ,即
这个曲线的微分方程为
解得
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