陶哲轩的一种加强不等式的方法 读后感

Amplification, arbitrage, and the tensor power trick

首先请允许我武断地翻译为套利(捂脸

arbitrage是一个双关，作为“套利”是文章的主题；作为“仲裁”与arbitrary同源，而后者恰好是套利方法所依赖的前提（必须要求不等式对“任意f”成立）

陶哲轩的文章首先用简练的语言总结了套利方法：假设一个不等式对“任意f”成立，我们尝试使用一个变换作用于f上再代入原不等式。要求：不等式一端在这种变换下不变（这对应于某种对称性），另一端的变化容易计算。可能的结果有两类：第一类是，通过选取适当的参数，我们得到了加强的不等式。第二类是，加强的不等式如此离谱，以至于它不可能成立，从而证否原不等式。后者往往表现为量纲不匹配，或者指标（如Lp空间的p或导数的阶）不合适。文章前面讲了熟知的Cauchy，Holder，后面逐渐复杂了起来，用随机平移的叠加（辛钦不等式不会，达咩）和组合（张量积好神奇）作为套利的手段。

自从学竞赛开始, 我在经典不等式的证明中瞥见套利手法的吉光片羽, 也能通过“量纲”和三元齐次对称不等式系数分布（当时美其名曰“三角阵”，和高中几个同学一起搞）鉴别不靠谱的不等式。后来在pde讨论班上听到了sobolev嵌入和内插不等式，老师也分析过指标之间的关系，但我大脑过载。希望我在今后的学习中始终以它为向导，从高中竞赛的不等式（这大学分析学投下的影子）走入现代的数学。至于张量积和组合数学的不等式，大概这辈子都没机会去学习了吧（笑）。

寒假拿竞赛班同学开刀，讲这个，做实验捏

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