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【高中】匀变速直线运动-几个重要推论

时间: 2021-08-06 19:27:53 | 作者：文须雀物理大百科 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 109次

【高中】匀变速直线运动-几个重要推论

重要推论

做匀变速直线运动的物体，在某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度.即：v_frac{t}{2}=overline{v}=frac{v_0+v_t}{2}.推导：由v_t=v_0+at知，经过frac{t}{2}的瞬时速度为：v_frac{t}{2}=v_0+at_frac{t}{2}.将v_t=v_0+at代入上式得：

v_frac{t}{2}=v_0+frac{1}{2}(v_t-v_0)=v_0+frac{v_t}{2}-frac{v_0}{2}=frac{v_0+v_t}{2}

即：v_frac{t}{2}=frac{v_0+v_t}{2}

做匀变速直线运动的物体，在某段位移内中间位置的瞬时速度v_frac{x}{2}等于初速度v_0与末速度v_t二次方之和的一半的平方根，即：v_frac{x}{2}=sqrt{frac{v_0^2+v_t^2}{2}}.推导：由v_t^2-v_0^2=2as知:

v_frac{x}{2}^2-v_0^2=2afrac{x}{2} v_t^2-v_frac{x}{2}^2=2afrac{x}{2} v_frac{x}{2}^2-v_0^2=v_t^2-v_frac{x}{2}^2

即：v_frac{x}{2}=sqrt{frac{v_0^2+v_t^2}{2}}

做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移之差是一个恒量，即：Delta x=aT^2.推导：如图1所示，s_1、s_2为连续相等时间T内的位移，加速度为a.

x_1=v_CT-frac{1}{2}aT^2 x_2=v_CT+frac{1}{2}aT^2

联立以上两式得：Delta x=s_2-s_1=aT^2.

对于初速度为零的匀变速直线运动，ts末，2ts末，3ts末cdotscdots的瞬时速度之比为：v_1:v_2:v_3:cdots:v_n=1:2:3:cdots:n推导：由v_t=at知:

v_1=at,v_2=2at,v_3=3at,v_n=nat

即得：v_1:v_2:v_3:cdots:v_n=1:2:3:cdots:n

对于初速度为零的匀变速直线运动，ts内，2ts内，3ts内cdotscdots的位移之比为：x_1:x_2:x_3:cdots:x_n=1^2:2^2:3^2:cdots:n^2推导：由x=frac{1}{2}at^2知:

x_1=frac{1}{2}at^2，x_2=frac{1}{2}a(2t)^2，x_3=frac{1}{2}a(3t)^2，x_n=frac{1}{2}a(nt)^2

即得：x_1:x_2:x_3:cdots:x_n=1^2:2^2:3^2:cdots:n^2

对于初速度为零的匀变速直线运动，第1个ts末，第2个ts末，第3个ts末cdotscdots的位移之比为：x_Ⅰ:x_Ⅱ:x_Ⅲ:cdots:v_N=1:3:5:cdots:(2n-1)推导：由x=frac{1}{2}at^2知:

x_Ⅰ=frac12acdot t^2=frac12acdot1cdot t^2 x_Ⅱ=frac12acdot (2^2-1^2)t^2=frac12acdot3cdot t^2 x_Ⅲ=frac12acdot (3^2-2^2)t^2=frac12acdot5cdot t^2 cdotscdots x_N=frac12a[n^2-(n-1)^2]t^2=frac12acdot(2n-1)cdot t^2

即得：x_Ⅰ:x_Ⅱ:x_Ⅲ:cdots:v_N=1:3:5:cdots:(2n-1)

对于初速度为零的匀变速直线运动，通过位移x,2x,3x,cdots,nx所需的时间之比为：t_1:t_2:t_3:cdots:t_n=sqrt{1}:sqrt{2}:sqrt{3}:cdots:sqrt{n}推导：由x=frac{1}{2}at^2知:t=sqrt{frac{2x}{a}}

t_1=sqrt{frac{2times x}{a}} t_2=sqrt{frac{2times 2x}{a}} t_3=sqrt{frac{2times 3x}{a}} cdotscdots t_n=sqrt{frac{2times nx}{a}}

即得：t_1:t_2:t_3:cdots:t_n=sqrt{1}:sqrt{2}:sqrt{3}:cdots:sqrt{n}

从静止开始通过连续相等的位移所用的时间之比为：t_1:t_2:t_3:cdots:t_n=(sqrt{2}-1):(sqrt{3}-sqrt{2}):cdots:(sqrt{n}-sqrt{n-1})推导：由x=frac{1}{2}at^2知:t=sqrt{frac{2x}{a}}

t_1=sqrt{frac{2x}{a}} t_2=sqrt{frac{2times2x}{a}}-sqrt{frac{2x}{a}}=(sqrt{2}-1)sqrt{frac{2x}{a}} t_3=sqrt{frac{3times2x}{a}}-sqrt{frac{2times2x}{a}}=(sqrt{3}-sqrt{2})sqrt{frac{2x}{a}} cdotscdots t_n=sqrt{frac{ntimes2x}{a}}-sqrt{frac{(n-1)times2x}{a}}=(sqrt{n}-sqrt{n-1})sqrt{frac{2x}{a}}

即得：t_1:t_2:t_3:cdots:t_n=(sqrt{2}-1):(sqrt{3}-sqrt{2}):cdots:(sqrt{n}-sqrt{n-1})

例题

【例】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3s内的位移为x_1，最后3s内的位移为x_2，已知x_2-x_1=6m；x_1:x_2=3:7，求斜面的总长.

【解析】由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.由题意知，frac{x_1}{x_2}=frac{3}{7}，x_2-x_1=6m，解得x_1=4.5m，x_2=10.5m物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.由于连续相等时间内位移的比为：1:3:5:cdots:(2n-1).故x_n-(2n-1)x_1，可知10.5=4.5(2n-1)，解得：n=frac{5}{3}.又因为，x_总=n^2x_1，所以斜面的总长：x_总=(frac{5}{3})^2times4.5m=12.5m.【答案】12.5m

文章标题: 【高中】匀变速直线运动-几个重要推论
文章地址: http://www.xdqxjxc.cn/jingdianwenzhang/118649.html
文章标签：高中物理  物理科普  高中学习
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