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【知识仓库】狭义相对论-拓展（中）

时间: 2021-06-22 21:27:14 | 作者：爱XR的麦子 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 117次

【知识仓库】狭义相对论-拓展（中）

相对论运动学

想象你以 1g 的加速度从地球出发。按你的表的时间，如果你走了10年，从地球上看你能走多远？

将地球考虑成 S 参照系，你的速度相对于地球在时间 t 时为 v 。而 S' 参照系以 v 的速度匀速移动，而你在这个瞬间在这个参照系中是静止的。

考虑一个 S' 参照系中的时间差 delta t' ，这时你的速度增加了 delta v' 因为你在加速。

那么在 S 参照系中，你增加的速度为

delta v = frac{v + delta v'}{1 + frac{v delta v'}{c^2}} - v = frac{1-(v/c)^2}{1+ (v delta v'/c^2)} delta v' approx frac{delta v'}{gamma^2}

上述近似在 delta v' 很小时成立。因为时间膨胀， delta t = gamma delta t' ，由此

a = frac{dv}{dt} = frac{a'}{gamma^3}

a' = frac{dv'}{dt'} 是那个你感受到的 1g 的加速度，即静止参照系的加速度。因此从地球的参照系看，你有一个更小的加速度。当得到了加速度了，下一步就是两个积分来得到距离了。

a = frac{a'}{gamma^3} Rightarrow frac{dv}{dt} = (1 - frac{v^2}{c^2})^{frac{3}{2}}g

Rightarrow g(t-t_0) = int_u^v (1- frac{v^2}{c^2})^{-frac{3}{2}} dv

可以通过让 beta = frac{v}{c}, dbeta = frac{dv}{c} 来简化运算

Rightarrow RHS = cint_{u/c}^{v/c} frac{dbeta}{(1-beta^2)^{frac{3}{2}}} ，

可以将 beta = sin(omega), dbeta = cos(omega) domega 代入，

Rightarrow RHS = cint_{sin^{-1}(u/c)}^{sin^{-1}(v/c)} frac{ cos(omega) domega}{(1-sin^2(omega))^{frac{3}{2}}} = cint_{sin^{-1}(u/c)}^{sin^{-1}(v/c)}sec^2(omega) domega = c left[ tan(omega) right]_{sin^{-1}(u/c)}^{sin^{-1}(v/c)}

Rightarrow RHS = c left[ tan(omega) right]_{sin^{-1}(u/c)}^{sin^{-1}(v/c)} = c left[ frac{sin(omega)}{sqrt{1 - sin^2(omega)}} right]_{sin^{-1}(u/c)}^{sin^{-1}(v/c)} = c frac{v/c}{sqrt{1 - (v/c)^2}} - c frac{u/c}{sqrt{1 - (u/c)^2}}

于是乎，

Rightarrow g(t-t_0) = frac{v}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} - frac{u}{sqrt{1-frac{u^2}{c^2}}}

我们可以将一开始以速度 u 时的洛伦兹因子设定为 gamma_0 。

那么，如果我们假设 t_0 = 0 ，就有了

Rightarrow gt = frac{v}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} - gamma_0 u

整理一下

Rightarrow (gt + gamma_0 u)^2 = frac{c^2v^2}{c^2-v^2} (gt + gamma_0 u)^2c^2-(gt + gamma_0 u)^2v^2 = c^2v^2 ((gt + gamma_0 u)^2+c^2)v^2 = (gt + gamma_0 u)^2c^2

这里的速度起码需要为正值，所以

Rightarrow v= c frac{gamma_0 u + gt}{sqrt{(gt + gamma_0 u)^2+c^2}} = frac{gamma_0 u + gt}{sqrt{frac{(gt + gamma_0 u)^2+c^2}{c^2}}}

所以

v(t) = frac{gamma_0 u + gt}{sqrt{1+(frac{gamma_0 u + gt}{c})^2}}

接着

x(t) = x_0 + int_0^t v(t) dt = x_0 + int_0^t frac{gamma_0 u + gt}{sqrt{1+(frac{gamma_0 u + gt}{c})^2}} dt

利用 alpha = gamma_0 u + gt, dalpha = gdt 可以得到

Rightarrow x(t) = x_0 + int_{gamma_0 u}^{gamma_0 u + gt} frac{alpha}{sqrt{1+(frac{alpha}{c})^2}} frac{dalpha}{g}

Rightarrow x(t) = x_0 + frac{c}{g} (sqrt{c^2+(gamma_0 u + gt)^2} - sqrt{c^2 +gamma_0^2 u^2})

而因为 gamma_0^2 = frac{1}{1-frac{u^2}{c^2}} Rightarrow sqrt{c^2 +gamma_0^2 u^2} = cgamma_0 ，前半项则跟速度原本分母的样子是一样的，

所以

x(t) = x_0 + frac{c^2}{g}(sqrt{1+(frac{gamma_0 u + gt}{c})^2}- gamma_0)

而这可以再带回速度的公式中

Rightarrow sqrt{1+(frac{gamma_0 u + gt}{c})^2} = gamma_0 + frac{g}{c^2}(x-x_0) Rightarrow gamma_0 u + gt = c sqrt{(gamma_0 + frac{g}{c^2}(x-x_0))^2 - 1}

所以，另一个形式是

v(x) = csqrt{1 - (gamma_0 + frac{g}{c^2}(x-x_0))^{-2}}

而 g = a' = frac{dv'}{dt'} 是一个常数，这些都是在你的静止参照系，而不是地球的参照系。然而前面算得都是在地球参照系 S 中。

我们可以用时间膨胀来考虑在 S' 参照系的情况， Delta t' = frac{Delta t}{gamma} ，但是这个公式只对匀速情况奏效。

而我们可以用一个更泛化的形式 Delta t' = int_{t_1}^{t_2} sqrt{1 - frac{v^2(t)}{c^2}} dt 来计算，而 Delta t = t_2 - t_1 。

那么，令 xi = frac{gamma_0 u + gt}{c}, dt = frac{c}{g} dxi

Rightarrow 1+xi^2 =1 + frac{(gamma_0 u + gt)^2}{c^2}

然后对于我们的速度而言

frac{v(t)}{c} = frac{frac{gamma_0 u + gt}{c}}{sqrt{1+(frac{gamma_0 u + gt}{c})^2}} = frac{xi}{sqrt{1+xi^2}}

1 - frac{v^2(t)}{c^2} = 1-(frac{xi}{sqrt{1+xi^2}})^2 = frac{1}{1 + xi^2 }

于是乎，将上面中的 v(t) 代入

Rightarrow Delta t' = frac{c}{g} int_{xi_1}^{xi_2} frac{dxi}{sqrt{1 + xi^2}} = frac{c}{g} sinh^{-1}(xi_2) - frac{c}{g} sinh^{-1}(xi_1)

也就是说

Delta t' = frac{c}{g} sinh^{-1}(frac{gamma_0 u + gt_2}{c}) - frac{c}{g} sinh^{-1}(frac{gamma_0 u + gt_1}{c}) ，

注意这里 gamma_0 u 是不变的。

假设两个参照系的钟是同步过的 t_1 = t_1' = 0 ，那么

t' = frac{c}{g} [sinh^{-1}(frac{gamma_0 u + gt}{c}) - sinh^{-1}(frac{gamma_0 u}{c})]

而且这里的 t' 将是固有时间 tau ，因为在你的参照系中，钟的位置是不变的。

假设起始速度 u = 0 ，与此同时 gamma_0 = 1 。那么我们可以写出

sinh(frac{gtau} {c}) =frac{gt}{c}

将这所有的条件代入距离公式 x(t) 中，并认为一开始的距离为 x_0 = 0 （从地球出发）

x(tau) = frac{c^2}{g}(cosh(frac{gtau} {c})- 1)

终于，我们有了这个公式

其中， x 是从地球的静止参照系看，你距离地球的距离，而 tau 是你的固有时间，也就是你飞行器上的钟显示的时间。

如果以 1g 的加速度从地球出发，你认为你飞了10年，那么你距离地球就是14800光年。

文章标题: 【知识仓库】狭义相对论-拓展（中）
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文章标签：物理科普  狭义相对论  太空旅行
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