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广义相对论——测地线方程浅谈

时间: 2021-04-12 10:49:31 | 作者：星图 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 98次

广义相对论——测地线方程浅谈

在时空中，每一个物体都在沿着世界线以光速运动，而世界线是物体在时空中随固有时的运动的轨迹。那么如何描述速度随固有时的变化来预测物体的轨迹呢？

这就要用到测地线方程

在时空中，物体在自然条件下沿直线运动

当物体不受力时，世界线在时间和空间维度中为直线

因为矢量的平行移动满足沿曲线的斜变导数为零的条件，所以我们可以把在给定时刻的速度矢量沿自身方向平移来预测物体运动的轨迹。这种轨迹就叫做：测地线(geodesic)

（以二维时空推到）

在测地线上，速度不会发生变化，所以它关于固有时的导数为零

d(vrightarrow)/dtau=(0rightarrow) (1)（这个箭头是在v的头上的，表示矢量，打不出这种效果来了）

而速度矢量可以写成其基矢与分量的乘积之和

(vrightarrow)=v^{0}(e_{0}rightarrow)+v^{1}(e_{1}rightarrow)=v^{alpha}(e_{alpha}rightarrow) (2)（这里的v右上角的数字不是幂指数而是标识符，也是打不出这种效果来了）

将（2）代入（1）

d[v^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)]/dtau=(0rightarrow)

得 v^{alpha}[d(e_{alpha}rightarrow)/dtau]+(dv^alpha/dtau)(e_{alpha}rightarrow)=(0rightarrow) （3）

右边的导数是分量的变化，左边的则是基矢本身的变化

因为时空是扭曲的，所以基矢会随着轨迹发生变化。基矢的分量也会随着物体的运动发生变化。

那么，我们可以把基矢的变化分解为沿着两个坐标的变化，乘以速度再求和

d(e_{1}rightarrow)/dtau=[d(e_{1}rightarrow)/dx^{0}]v^{0}+[d(e_{1}rightarrow)/dx^{1}]v^{1}

因为物体运动的越快，基矢变化地就越快

基矢的沿每个坐标的变化就是基矢关于该坐标的导数，而这种矢量不再依赖于轨迹，只与时空自身结构有关

这种矢量有可用其分量(Gamma)表示 d(e_{1}rightarrow)/dx^{0}=(Gamma_{10}^{1}+Gamma_{10}^{2})(e_{1}rightarrow)

(这里的Gamma_{10}^{1} 是克里斯托弗符号，求解公式是 Gamma_{alphabeta}^{gamma}=(g^{gammagamma}/2)(dg_{sigmaalpha}/dx^{beta}+dg_{gammabeta}/dx^{alpha}-dg_{alphabeta}/dx^{gamma}) 其中类似 g_{alphabeta} 的东西是度规张量）

（克里斯托弗符号记录着时空网格沿着每个方向的变化）

将克里斯托弗符号代入上式

d(e_{alpha}rightarrow)/dtau=Gamma_{alphabeta}^{gamma}v^{beta}(e_{gamma}rightarrow)

再代入（3）

得 v^{alpha}Gamma_{alphabeta}^{gamma}v^{beta}(e_{gamma}rightarrow)+(dv^{alpha}/dtau)(e_{alpha}rightarrow)=(0rightarrow)

化简得测地线方程：

dv^{alpha}/dtau=-Gamma_{munu}^{alpha}v^{mu}v^{nu}

当然，你也可以把它写成这种形式

d^{2}x^{alpha}/dtau^{2}+Gamma_{munu}^{alpha}(dv^{mu}/dtau) (dv^{nu}/dtau)=(0rightarrow)

这个方程可以对速度的每个分量计算其在时空网格上随固有时流逝的变化率，因此它可以预测物体的整个轨迹

更新一波~

想要预测到整个轨迹就必须要计算克里斯托弗符号，因为克里斯托弗符号描述了基矢如何沿时空网格的变化而变化地

那么如何描述克里斯托弗符号呢？

上面已经描述过了，需要用到度规张量

下一篇文章将简单、形象且直观地解释一下什么是度规张量

文章标题: 广义相对论——测地线方程浅谈
文章地址: http://www.xdqxjxc.cn/jingdianwenzhang/101715.html
文章标签：理论物理  相对论  物理科普
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