波反射后与入射波重合还是相位如何变化

相位相反就抵消了，不相同也不相反的话可能部分抵消或叠加。

驻波产生的条件是：两列波频率相等，波速相等，振幅相等，传播方向相反，最后一个就是振动方向一致。

其中振动方向一致即振向一致，并不是对相位的要求。指的是对横波（波的振动方向与波的传播方向垂直）的情况，两列波的振动方向相同或振动平面相同。就是说产生驻波并没有相位的要求，为什么呢？

因为在满足驻波形成的条件下，波腹处的两个振动始终同相，波节处的两个振动始终反相，其余地方介于两者之间。而两列波在某一位置（如坐标原点、反射点）的相位差就决定了这一点的振动情况（是波腹、波节或其它点），并不影响驻波的形成。

通常驻波是由入射波与反射波叠加而成，反射点处的两个振动的相差决定了整个驻波波腹和波节的位置。如弦乐上弦的两端都是波节，管乐中管的开口处是波腹。

平面波投射到两种不同均匀介质分界面时，波的传播方向和能量都会发生改变。本节首先讨论传播方向上的变化规律，再讨论波的能量变化规律。

（一）斯奈尔定理

同光线在非均匀介质中的传播一样，当弹性波遇到两种不同均匀介质之间的分界面时，也即遇到具有弹性突变的弹性分界面时，弹性波要在此分界面上产生反射和透射。首先从平面波出发，分析反射波和透射波的运行路径。

假设整个弹性空间由弹性分界面R分成两部分，如图1-4-1所示。波在上半空间W1 的传播速度为v1，而在下半空间W2 为v2。如果介质W1 中有一平面波前AB向分界面R以某一角度α投射，当波前面AB到达界面R上A′点时，根据惠更斯原理可以将界面上A′点看成一个新震源，由该点产生一个新的扰动向四周介质传播。当波前上B′点经过Δt时间传播到界面R上的Q点时，由A′点新震源发出的新扰动在W1 介质中亦已经按速度v1 传播了Δt时间，且在W2 介质中亦已按速度v2 传播了Δt时间，于是可以以A′点为圆心，以r1＝v1Δt为半径在W1 介质内画圆弧，而以r2＝v2Δt为半径在W2 介质内画圆弧，从Q点作这两个圆弧的切线，分别相切于S点和T点（见图1-4-1）。QS和QT就是当波前A′B′投射到R界面时产生的两个通过Q点的新波前，其中QS波前面是同入射波前A′B′在同一介质W1 内，称为反射波；QT波前面则在入射介质的另一侧W2 内，称为透射波或透过波。如果令入射波前面A′B′、反射波前面QS和透射波前面QT与界面R的夹角分别为α、α′和β，则从图上简单的三角关系可以得到

图1-4-1 平面波的反射和透射

B′Q＝v1Δt＝A′Qsin α A′S＝v1Δt＝A′Qsin α′ A′T＝v2Δt＝A′Qsin β

于是便有

地震波场与地震勘探

上述等式反映了在弹性分界面上入射波、反射波和透射波在传播方向上的关系。如果定义α为入射角，α′为反射角，β为透射角，（1-4-1）式则说明入射角等于反射角，透射角的大小决定于介质 W1、W2 的速度 v1、v2之比；且在一个界面上对入射波、反射波和透射波来说具有相同的射线参数p。这个定律称为反射和透射定律，亦称为斯奈尔（Snell）定律。

图1-4-2 入射线、反射线和透射线之间的关系

由于射线垂直于波前，因此在弹性分界面上亦可以用射线来表示入射、反射和透射三者之间的关系。它们亦应满足斯奈尔定律，不过此时入射角α，反射角α′和透射角β分别表示入射线，反射线和透射线同界面R的法线之间的夹角（图1-4-2）。

（二）波的转换和佐普瑞兹（Zoeppritz）方程

前面讨论的问题只涉及到弹性分界面上波的反射和透射的传播方向问题，没有讨论这些反射波和透射波的波型转换和振幅变化问题。为了讨论这些问题，单纯利用惠更斯原理是不够的，必须从弹性分界面的边界条件出发求解波动方程。

假设在弹性分界面R的两侧介质W1 和W2 中，弹性系数和密度分别表示为

W1：λ1，μ1，ρ1

W2：λ2，μ2，ρ2

由于弹性分界面两侧介质的弹性系数和密度不同，由前面的讨论可知，在介质W1 和W2中分别存在着四种不同的波传播速度。它们分别是：

地震波场与地震勘探

于是根据斯奈尔定律便有

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此处α是纵波入射角，α1、β1 分别是纵波、横波反射角，α2、β2 分别是纵波、横波透射角。（1-4-3）式说明当介质W1 中有纵波P1 入射到界面R上的A点时，在A点处分裂为二个反射波，即反射纵波P11和反射横波P1 S1；以及二个透射波，即透射纵波P12和透射横波P1 S2，如图1-4-3所示。换句话说，包括入射纵波在内，在边界上的A点处总共有五个波动。其中两个是同入射纵波P1 波型相同的反射纵波P11和透射纵波P12，称之为同类波；此外还有两个同入射纵波波型不相同的反射横波P1 S1 和透射横波P1 S2，称之为转换波。当然，这五个波在弹性分界面的A点处必须要满足边界条件。

图1-4-3 纵波入射时波的转换关系波前面图

图1-4-4 横波分解为SV波和SH波示意图

由前面的讨论已知，纵波质点的振动方向与波的传播方向一致，横波质点的振动方向与波的传播方向垂直。波的传播方向只有一个，而垂直于波的传播方向的方向有无数多个。为了研究的方便，常将横波又分解成质点振动方向相互垂直的两种波，如图1-4-4所示，一个是在包括射线的铅垂面（即图中XZ平面）内振动的横波，称为SV波；另一个是在垂直于XZ平面方向振动的横波，称为SH波。这种划分一般情况下没有明确的物理意义，但在层状介质这一特定情况下具有明确的含义。由于入射纵波的质点在XZ平面内振动，弹性分界面平行于XY平面，从物理的角度而言，它无论如何也不可能分裂出垂直于XZ平面的振动，因此纵波入射时分裂出的转换横波必然是SV波。

为了简化问题的讨论，只研究平面谐和纵波的入射问题。因为在地震工作实际中总是远离震源进行观测的，此时可以认为球面波已蜕化为平面波；其次，根据频谱分析理论，任何一个脉冲振动都可以分解成不同频率的谐和振动之和，故用谐和振动来讨论问题并不失其一般性。在如图1-4-4的坐标系中，让XY平面与分界面R重合，Z轴垂直向下；而且让Y轴平行于平面波的波前面，这样波在三维空间中的传播问题就可以简化为在XZ平面内的二维空间问题。因为对于波前平行于Y轴的平面波而言，沿Y轴与它平行的平面内各点的振动都是相同的。

设平面纵波P1 以其射线与界面法线（即Z轴）成α角，从介质W1 入射到界面z＝0的A点处。按上述讨论，在A点处波分裂为反射波P11和P1 S1 以及透射波P12和P1 S2，如图1-4-5所示。根据各个波的传播方向可以分别写出入射纵波和其他四个波的位移值

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式中：A0、A1 和A2 分别是入射纵波、反射纵波和透射纵波的振幅值，B1 和B2 分别是反射横波和透射横波的振幅值，ω是谐和波的角频率，其他各量的意义见图1-4-5。

图1-4-5 纵波入射时的反射和透射

由各个波的质点振动方向可以写出在介质W1 和W2 中的位移分量：

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这些位移分量必须满足界面处的二组边界条件。一组是应力连续条件，即介质W1 区域内的质点作用于介质W2 区域内的质点上的应力应该等于介质W2 区域内的质点作用于介质W1 区域内的质点上的应力。写成公式为

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或者以位移分量的形式写出为

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另一组为位移连续条件，即在界面上不应有断裂和滑动。写成公式为

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将（1-4-4）式代入（1-4-5）式，再代入边界条件（1-4-7）式和（1-4-8）式，经简化后得

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式中：γi＝vSi/vPi，i＝1，2，是纵、横波速度比；Zi＝ρivPi，Wi＝ρivSi，i＝1，2，则称为纵、横波的波阻抗。

（1-4-9）式即为著名的佐普瑞兹方程。它是佐普瑞兹在1919年给出的。此外，还有其他形式的描述弹性分界面上反射、透射波振幅分配公式，如诺特（Knott）公式，阿基（Aki）公式等。它们仅仅形式上有所不同，本质上都是一样的。

当SV波入射时，在界面处会发生波型的转换，出现同类的反射SV波、透射SV波和转换的反射纵波、透射纵波。使用与上述相同的方法，利用边界条件可以求出各个波振幅关系的包括四个方程的线性代数方程组。当SH波入射时，因为不发生转换，只产生反射的SH波和透射的SH波。用同样的方法可以得到包含二个方程的可求解反射、透射波振幅的方程组。有关SV波和SH波入射的讨论类似于纵波入射，这儿就不赘述了。

佐普瑞兹方程描述了纵波入射时弹性界面上各个波振幅之间关系。如果已知入射波振幅和入射角，首先根据斯奈尔定律求出各个波的反射、透射角，然后在已知界面两侧介质参数的条件下，求解佐普瑞兹方程得到各个波的振幅，进而确定反射系数和透射系数。因为反射系数和透射系数反映了弹性分界面上各波的相对强度，因此也就确定了它们之间的能量分配关系。从佐普瑞兹方程知各波的振幅（或反射、透射系数）除与入射角有关外，还与很多参量有关，改变这些参量的比值，就会引起反射系数和透射系数的变化，改变能量分配关系。因此，欲直观地从方程组一目了然地看出它们之间的关系是困难的。为此先研究法线入射这一特殊情况，再讨论一般倾斜入射情况。

（三）法线入射

法线入射就是入射波垂直地投射到弹性分界面R上。这种情况不仅具有重要的理论意义，而且在地震勘探的实践中具有重要的现实意义。因为地震勘探特别是反射波法勘探在野外的接收点一般都是近震源布置，因此震源至接收点之间的距离相对地面震源至深达数千米的弹性分界面距离而言可以认为很小。这样从震源投射到弹性分界面再反射回地面接收到的反射波可以认为是近法线反射，故研究法线入射对地震勘探具有现实意义。

由于是法线入射，因此α＝0，按斯奈尔定理有α1＝α2＝β1＝β2＝0，于是佐普瑞兹方程变为如下的简单形式

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由（1-4-10）中的第2、4式可导出：在法线入射的情况下，不存在转换波，只有反射纵波和透射纵波，即B1＝B2＝0。由（1-4-10）中的第1、3式可以解出反射系数和透射系数为

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由此式可以看到，只要上、下介质的波阻抗不等，即

ρ2vP2≠ ρ1vP1 （1-4-12）

则反射系数总不会为零，就会存在反射波。于是（1-4-12）式就是反射波存在的物理条件。也可以说，反射波发生于波阻抗的分界面上，常将波阻抗分界面称为反射面。

从（1-4-11）式还可以看出，当

，或Z2＞Z1时，RPP为正，表明A1与A0 同号。说明入射波由波疏介质向波密介质投射时，反射波的相位与入射波的相位一致。即若入射波波前以压缩带到达界面，反射波波前也是压缩带；若入射波波前以膨胀带到达界面，反射波波前也是膨胀带。反之，当

，或Z2＜Z1时，RPP为负，表明A1与A0 反号，说明入射波由波密介质向波疏介质投射时，反射波的相位与入射波的相位相反。即若入射波波前以压缩带到达界面，则反射波波前变为膨胀带。若入射波波前以膨胀带到达界面，则反射波波前变为压缩带。这种现象在物理上称为半波损失。

至于透射系数，由（1-4-11）式可以看出它总是正的，说明透射波的相位总是与入射波的相位一致。

由（1-4-11）式还可以得到反射系数与透射系数之间的关系是

TPP＝1-RPP （1-4-13）

垂直投射的另一个特例是真空反射问题。当波在地层中传播经反射后向上垂直投射到地面时，由于空气的密度和岩石的密度相比可以认为是零；因此地面成为一个自由面。在自由面上，位移不受任何限制，而应力为零；在真空中没有介质，也就没有位移，因此边界条件就只有二个，即

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将介质中的位移分量代入边界条件（1-4-14）式，经简化后得：

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考虑到垂直投射，入射角、反射角均为零，故有：

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这说明垂直透射到自由界面时，只有反射纵波，反射横波消失，且反射纵波振幅与入射纵波振幅大小相等，相位相反。因为是自由界面，地面位移的振幅应该是入射波振幅与反射波振幅之和，故此时地面位移的总振幅为2，即垂直投射至自由界面上的波使自由界面上的介质质点位移比介质内部质点的位移大一倍。

（四）倾斜入射

如果改变平面纵波的入射角，问题就变为一般的倾斜入射情况。为了能够直观地研究这些波动之间的能量分配关系，采用作图的方法。国外许多研究机构在这方面作了大量的研究和计算工作，绘制了不少反射系数和透射系数的曲线诺模图。这些图大致可以分为两类：一类是描述反射系数和透射系数同入射角α之间的关系曲线；另一类是描述它们同各参量例如密度比、速度比之间的关系曲线。我们选择一些典型的曲线进行分析，以便从中引出对地震勘探有益的结论。

图1-4-6 反射系数、透射系数与入射角关系图

图1-4-6a上的曲线是在

、ρ2/ρ1＝0.8条件下，反映反射系数和透射系数同入射角α之间的关系曲线。入射介质是波阻抗较大的密介质。此时在入射角α＜20°时，能量主要分配在透射纵波和反射纵波上，横波基本上没有能量，这同上面讨论的法线入射情况是相符的。随着入射角的加大，纵波的某些能量转化为反射横波和透射横波的能量，主要能量还是在纵波方面，说明在纵波入射的条件下，横波的相对强度不是很大。值得注意的是，在α≈40°～60°时，反射横波的强度可以超过反射纵波的强度，这说明在远离震源接收或大倾角入射时，容易接收到反射的转换横波。

图1-4-6b反映的是另一种特殊情况，这族曲线的条件是

、ρ2/ρ1＝0.5，因此

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反映界面两边介质的波阻抗相等。因此在法线入射时不可能有反射波，由曲线上也可以看到这一点。当入射角α逐渐增大，增至某一角度时，反射纵波强度有了突然变化，而且透射纵波的强度很快下降至零。这种强度的急剧变化反映了能量的转换，我们将在以后讨论到。此时在这一个称为临界角的附近将产生一种新波动，在地震勘探中称为折射波。同时在临界角附近反射纵波和反射横波的强度都增大，在那里的反射称为广角反射。因此往往在远离震源、临界角附近能追踪到反射波。人们期望能追踪广角反射，特别对那些波阻抗差小的弱反射界面（习惯上，人们把反射系数小于0.1 的反射界面称为弱反射界面，把反射系数大于0.5的反射界面称为强反射界面，而把反射系数处于0.1和0.5之间的反射界面称为中等反射界面）来说，利用广角反射能得到更强的振幅。

图1-4-7a和图1-4-7b描述了速度比、密度比值发生变化时对反射系数的影响。从图1-4-7a中可以看出，当

时，曲线变化缓慢，

越趋于1，则曲线越平缓。这反映上下介质的波阻抗值差异越小，反射越为弱反射，反之则为强反射。这一点可以用来指导我们将来根据反射的强弱来识别岩性。当

时，则曲线急剧变化，尤其是在临界角附近。至于图1-4-7b上。ρ2/ρ1 值的变化使曲线没有多大变化，说明密度的变化对反射波的强度影响不大。

图1-4-7 反射系数与速度比、密度比、入射角关系图

a.速度比；b.密度比