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天体问题(II)：小工具解决大问题

时间: 2021-12-01 14:31:39 | 作者：dchen505 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 93次

天体问题(II)：小工具解决大问题

【摘要】文章利用第一宇宙速度的概念阐述地球同步卫星轨道的设计，并尝试银河系中心质量的测算，与天文学家测算的质量大致相同。利用第二宇宙速度的概念完成太阳临界半径的推算。正所谓小工具解决大问题。

1. 第一宇宙速度(环绕速度)

一个质量为 m 的物体相对于一个质量为 M 的星球做圆周轨道运行，假设距离(即圆周半径)为 R ，环绕速度是 V_{1} ，那么，圆周运动的所需向心力 = 两物体间的引力，即

mfrac{V_{1}^{2}}{R}=Gfrac{mM}{R^{2}} (其中 G 是万有引力常量)

环绕速度 V_{1}=sqrt{frac{GM}{R}}

环绕速度概念简单，公式推导也容易，却是近代天体物理与航天技术的数学基础。

环绕速度应用之一：卫星轨道设计

目前许多通讯卫星，导航卫星都是圆形轨道。其入轨点的速度必须恰好达到该轨道半径所需的环绕速度，且入轨方向与入轨点轨道半径的夹角必须为90度。这里讨论一种特殊的卫星轨道，即地球静止卫星轨道。

该轨道首先必须是同步卫星轨道，即公转周期恰好是地球自转周期（每天24小时绕一圈），其次，该轨道必须位于赤道平面上。从赤道上望去，卫星处于空中的位置始终静止不动，因此称为地球静止卫星轨道。该轨道是唯一的，轨道距离R可以这样推出：

轨道周期 (地球自转周期)为 23小时56分4秒，记 T=86,164 秒 = 轨道周长/环绕速度，即

轨道周期 T=2pi R /sqrt{frac{GM}{R}} ，

轨道半径 R=sqrt[3]{frac{T^{2}GM}{4pi^{2}}}=sqrt[3]{frac{86164^{2}*6.672*10^{-11}*5.98*10^{24}}{4*3.14159^{2}}}

=42,177,740 米 =42,178 公里

地球赤道半径 =6,378 公里，因此该卫星轨道离赤道地面高度为 42,178-6,378=35,800 公里。该卫星轨道是唯一的，是一种宝贵的资源，因此各国部署在该轨道的不同卫星要求以不同的频率进行通讯，以免相互干扰。

环绕速度应用之二：银河系中心质量的测算

银河系中心指的是银河系中央一个凸出的很亮的球状体，即银核。银核直径约2万光年，厚约1万光年 (1光年=9.46万亿公里)，由高密度的恒星组成。有证据表明，银核的中心区域存在一个质量巨大的黑洞。银河系里有2000亿颗至4000亿颗恒星围绕银核运转。太阳距离银心 (银核) 为2.6万光年，环绕银核一周约2亿年，记为 T=2*10^8 年 =6.3*10^{15} 秒。

银河系中心(银核)的质量有多大？这是现代天文学很感兴趣的问题。这里不妨以太阳围绕银核运转（看作近似圆形轨道）的环绕速度来做个大体估算。

轨道半径 R=2.6 万光年 = 26,000 * 9.46*10^{12} 公里 = 2.46*10^{20} 米

环绕速度 V = frac{2pi R}{T}=frac{2*3.14*2.46*10^{20}}{6.3*10^{15}}=245,220 米/秒（约 245 公里/秒）。

设太阳质量m, 银核质量为M。根据圆周运动的向心力 = 引力，得到：

mfrac{V^{2}}{R}=Gfrac{mM}{R^{2}} , 即

M=frac{V^{2}R}{G}=frac{245220^{2}*2.46*10^{20}}{6.672*10^{-11}}=2.217*10^{41} 千克

相当于1100亿个太阳质量 (一个太阳质量约为2*10^{30} 千克)。这与目前天文学家测算的银河系中心质量大体相符，正所谓小工具解决大问题。

2. 第二宇宙速度(逃逸速度)

逃逸速度的推算：一个质量为 m 的物体离星球 M 的距离为 r ，速度为 v ，其动能为 frac{1}{2}mv^{2} ，引力势能为 -Gfrac{mM}{r} ，假设物体 m 离星球 M 距离为 R 时，速度为 V , 动能为 frac{1}{2}mV^{2} , 引力势能为 -Gfrac{mM}{R} 。根据能量守恒定律可知，在两处的动能与势能之和相等，即

frac{1}{2}mV^{2}-Gfrac{mM}{R}=frac{1}{2}mv^{2}-Gfrac{mM}{r}

当物体摆脱地球引力时，r 可看作无穷大，引力势能为零，则上式变为 :

frac{1}{2}mV^{2}-Gfrac{mM}{R}=frac{1}{2}mv^{2}

显然，当 v=0 时，所需的逃脱速度 V 最小，记为 V_{2} 。

逃逸速度 V_{2}=sqrt{frac{2GM}{R}} , 正好是环绕速度 V_{1} 的 sqrt{2} 倍。

从公式得知，星球质量 M 越大，或距离 R 越短，逃逸速度就越大。对于一个质量巨大的天体，若将球体进行压缩 (半径缩小)，使得星球表面的逃逸速度达到光速C (每秒30万公里)， 也就是说，星球表面物体只有超过光速才能逃逸。实际上，按广义相对论，任何物体都无法超越光速，那么该星球就变成了一个黑洞(超大的引力使得光都无法逃脱)。大质量星球 M 变成黑洞的临界半径 (施瓦西半径) 按如下计算：

逃逸速度公式中的 V_{2} 用光速 C 代替，得到

临界半径 R=frac{2GM}{C^{2}} ，看看太阳要变成黑洞的临界半径是多少？

太阳质量为 M=2*10^{30} 千克，光速 C=30 万公里/秒 =3*10^{8} 米/秒。

临界半径 R=frac{2GM}{C^{2}} =frac{2*6.672*10^{-11}*2*10^{30}}{3*10^{8}}=2965米 approx 3 公里

也就是说，将太阳压缩为半径不到3公里的球体，那就变成黑洞了。但是按照恒星的演化理论，像太阳这样质量的恒星，末期只能变成一颗白矮星，不会成为中子星，更不会变成黑洞。

前面测算过，银河系中心(银核)的质量约为1100亿个太阳质量。通常每个星系的中央都存在质量超大的黑洞。目前已探测到靠近银河系的银心区域存在一个巨大黑洞，即半人马座A黑洞，质量相当于太阳的400万倍。从临界半径的计算公式得知，临界半径与质量成正比，因此该黑洞的临界半径为太阳临界半径的400万倍，即3公里* 400万 = 1200万公里，在宇宙尺寸看来，这是很小的半径。

半人马座A（有超大质量黑洞）喷流

如果将该黑洞视为整个银河系中央的黑洞，似乎显得份量不够。因为一个星系的中央黑洞要控制其周围恒星的运行，其质量往往不少于银核质量的4~5成，正如银河系的银核要控制银河系的恒星，银核的质量要占银河系总质量的一半以上。

文章标题: 天体问题(II)：小工具解决大问题
文章地址: http://www.xdqxjxc.cn/jingdianwenzhang/129599.html
文章标签：天文学  天文科普  天体测量与天体力学
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