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面向高中生的天体力学入门

时间: 2021-06-28 15:27:30 | 作者：邹泽城 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 103次

面向高中生的天体力学入门

2021/4/14更新：优化了公式的表现效果，修正了一些不规范的用法，更新了参考文献。

本文将是作者这个寒假回高中天文社讲课用的讲义的主要部分，对象为高中生。这篇讲义本质上是抄书^{[1]^{[2]，内容在一般的天体力学书上都有，这里只是尽可能地将这些内容简单化，用符合高中知识体系的方式写下来。大概也能当作作者对天体力学基础的前1/4部分的笔记。假如您觉得阅读起来相当轻松，请右上角并寻求专业书籍的帮助，反之则请补充预备知识一节中的内容。}}

题图：2021 Asuka HAPPY BIRTHDAY^[3]

预备知识

阅读本文的预备知识包括：

最基础的微积分知识，读者不需要掌握过于复杂的计算技巧，但应当熟悉其物理意义；高中阶段基础的物理知识；高中阶段最基础的向量代数知识；高中阶段应掌握的圆锥曲线知识。

这些知识都应当包括在高中数学物理课程中。

符号约定：在不致产生混淆时，使用上标点表示该物理量取对时间的导数，标k个点表示取k阶导数。

矢量代数补充

定义1 矢量的叉乘

对于三维矢量 $bm{a}=(a_{1},a_2,a_3)^top$ ， $bm{b}=(b_1,b_2,b_3)^top$ ，定义 bm{a}timesbm{b} 是一个矢量，其模为 |bm{a}times bm{b}|=|bm{a}||bm{b}|sinlanglebm{a},bm{b}rangle ，方向为与 bm{a} 、 bm{b} 垂直且构成一个右手系。

我们不加证明地给出以下运算性质：

$bm{a}timesbm{b}=begin{vmatrix} hat{bm{x}} & hat{bm{y}} & hat{bm{z}} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix}$

lambda bm{a}timesbm{b}=bm{a}times(lambdabm{b})=lambda(bm{a}timesbm{b})

(bm{a}+bm{b})timesbm{c}=bm{a}timesbm{c}+bm{b}timesbm{c}

bm{a}//bm{b}Rightarrowbm{a}timesbm{b}=bm{0}

bm{a} times (bm{b} times bm{c})=bm{b} (bm{a} cdotbm{c})-bm{c}(bm{a}cdotbm{b})

bm{a}cdot(bm{b}timesbm{c})=bm{b}cdot(bm{c}timesbm{a})=bm{c}cdot(bm{a}timesbm{b})

角动量

定义2 角动量

物体在选定参考点下的角动量定义为其向径与动量的叉乘，即

bm{L}=bm{r}timesbm{p}=mbm{r}timesbm{v}.

定义3 力矩

力矩定义为力作用点的向径与力的叉乘，即

bm{tau}=bm{r}timesbm{F}.

我们有角动量定理

dot{bm{L}}=bm{tau}.

这也说明了对于一个系统，若其受到关于某参考点的合外力矩为0，则其关于该点的总角动量守恒。注意到若取计算力矩、角动量的参考点为力心，则有心力始终和向径平行，即

dot{bm{L}}=bm{tau}=bm{r}timesbm{F}=bm{0},

此时角动量守恒，且有

$|bm{L}|=|mbm{r}timesbm{v}|=mrv_bot=mr^2dot{varphi}.$

守恒定律是有用的，但是对于很多天体力学问题我们可以不引入守恒量，而是从运动方程出发着手解决。或者说，我们可以利用运动方程证明在某些情况下守恒定律成立。下面我们尝试从运动方程出发解决这些问题。

万有引力与二体问题

万有引力定律 天体1对天体2的万有引力为

$bm{F}_{12}={{G}}frac{m_1m_2}{r^3}bm{r}_{21}=-{{G}}frac{m_1m_2}{r^3}bm{r}_{12},$

其中 $bm{F}_{12}$ 表示天体1对天体2的万有引力， $bm{r}_{21}$ 指由天体2指向天体1的距离矢量，即 $bm{r}_{21}=bm{r}_1-bm{r}_2.$

万有引力是保守力，相应的可以定义势能。由功能关系，万有引力把一个天体从无穷远处移动到距离力心处，万有引力做的功等于引力势能的减少量，即

$E_p(infty)-E_p(R)=int_{infty}^{R} bm{F} cdot {rm{d}} bm{r} = {{G}} frac{m_1m_2}{R}.$

势能只有在取定零势面后，其绝对大小才具有意义，否则只有势能的差才有物理意义。通常取无穷远处势能为0，则引力势能可以直接写为

$E_p(R)=-{{G}} frac{m_1m_2}{R}.$

应当注意，引力势能是系统的能量。比如说计算两个物体构成的二体系统的总引力势能，只需如上式计算一次，而不是对两个物体各计算一次后求和。

两个天体仅受相互间的万有引力作用运动的问题称为二体问题。下面我们就利用上述知识导出几个二体问题的重要结论。

由牛顿第二定律，对于天体1、天体2，可以写出它们的运动方程

$bm{F}_{12}={{G}}frac{m_1m_2}{r^3}bm{r}_{21}=-{{G}}frac{m_1m_2}{r^3}bm{r}_{12}=m_1bm{a}_1=m_1ddot{bm{r}}_1,$

$bm{F}_{21}={{G}}frac{m_1m_2}{r^3}bm{r}_{12}=-{{G}}frac{m_1m_2}{r^3}bm{r}_{21}=m_2bm{a}_2=m_2ddot{bm{r}}_2,$

把上面两式相加，有

$m_1ddot{bm{r}}_1+m_2ddot{bm{r}}_2=bm{0}.$

积分两次，得

$m_1dot{bm{r}}_1+m_2dot{bm{r}}_2=bm{C}_1,$

$m_1bm{r}_1+m_2 bm{r}_2=bm{C}_1t+bm{C}_2.$

注意到一次积分后其实就是动量守恒，而上述第二式左边除以 (m_1+m_2) 就是二体系统质心的位矢，也就是说这证明二体质心做匀速直线运动或静止。6个积分常数 $bm{C}_1$ 、 $bm{C}_2$ （注意到是两个三维矢量，所以一共是6个）构成了质心运动积分。

两个天体的运动方程分别除以 m_1 、 m_2 后相减，可以得到相对运动方程

$ddot{bm{r}}_{12}=-{{G}}frac{m_1+m_2}{r^3}bm{r}_{12}.$

相对运动方程两边同时叉乘 $bm{r}_{12}$ ，有 $ddot{bm{r}}_{12}timesbm{r}_{12}=bm{0}$ 。积分一次，得

$bm{r}_{12}timesdot{bm{r}}_{12}=bm{H},$

可见积分常数 bm{H} 是与 $bm{r}_{12}$ 、 $dot{bm{r}}_{12}$ 都垂直的常矢量，也就意味着二体运动始终保持在一个与 bm{H} 相垂直的不变平面上。上式称为角动量积分。

本节证明的后两个结论，看起来都是显然的？

开普勒定律

考虑到开普勒定律描述的是行星围绕太阳运转的模式，而相对运动方程描述的正是两个天体的相对运动，我们不妨在不变平面内以天体1为原点建立右手极坐标系，令轴沿 bm{H} 方向，考察天体2相对天体1的运动。因此简洁起见本节省略所有不必要的下标。

利用上一节结论，我们先证明开普勒第二定律。

开普勒第二定律（面积定律）单位时间内，太阳指向行星的向径划过的面积不变。

将速度写成分量形式

dot{bm{r}}=dot{r}hat{bm{r}}+rdot{theta}hat{bm{theta}},

有

bm{r}cdotdot{bm{r}}=rdot{r},

$bm{H}=Hhat{bm{H}}=bm{r}timesdot{bm{r}}=r^2dot{theta}hat{bm{H}}.$

注意到，向径 bm{r} 在极短时间间隔 delta t 内扫过的面积可以表示为

$delta S=frac{1}{2}r^2deltatheta,$

则单位时间内向径划过的面积

$dot{S}=lim_{delta t to 0}{frac{delta S}{delta t}}=lim_{delta t to 0}{frac{frac{1}{2}r^2deltatheta}{delta t}}=frac{1}{2}r^2dot{theta}=frac{H}{2}.$

注意到开普勒第二定律并不要求两天体间作用力是平方反比的。

下面紧接着证明开普勒第一定律。

开普勒第一定律（轨道定律）行星的轨道是一个以太阳为焦点的椭圆。

相对运动方程叉乘 bm{H} ，并令

$mu:={G}(m_1+m_2),$

再将矢量三重积展开，有

$ddot{bm{r}}timesbm{H}=-frac{mu}{r^3}bm{r}times{bm{H}}=-frac{mu}{r^2}hat{bm{r}}times(bm{r}timesdot{bm{r}})=-frac{mu}{r^2}(-r^2frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}(frac{bm{r}}{r}))=mufrac{mathrm{d}hat{bm{r}}}{mathrm{d}t}.$

积分一次，得

dot{bm{r}}timesbm{H}=mu(hat{bm{r}}+bm{e}),

其中 bm{e} 为积分常数，称为拉普拉斯矢量。

上式点乘 bm{r} ，得

bm{r}cdot(dot{bm{r}}timesbm{H})=mu(r+bm{r}cdotbm{e}).

定义

f:=langlebm{r},bm{e}rangle,

有

$bm{r}cdot(dot{bm{r}}timesbm{H})=bm{H}cdot(bm{r}timesdot{bm{r}})=H^2=mu(r+bm{r}cdotbm{e})=mu r(1+ecos f).$

记

$p:=frac{H^2}{mu},$

整理得

$r=frac{p}{1+ecos f}.$

到此为止，上式就是轨道的极坐标方程，又被称为轨道积分，其实我们已经证明轨道是圆锥曲线了。为了能够直接看出轨道形状以及中间变量、的几何意义，我们进行坐标转换。由

x=r cos f,

y=rsin f,

把上述坐标转换对带入轨道积分，并整理得轨道的直角坐标方程

x^2+y^2=p^2-2pex+e^2x^2,

对的取值分类讨论。

(1) e=1 ；

直角坐标方程退化为

y^2=p^2-2px,

是抛物线轨道，且可以发现前面定义的中间变量就是抛物线的半通径。

(2) 0le e<1 ；

有 1-e^2>0 ，直角坐标方程配方得

$(x+frac{pe}{1-e^2})^2+frac{y^2}{1-e^2}=frac{p^2}{(1-e^2)^2},$

令

$a:=frac{p}{1-e^2},$

$b:=frac{p}{sqrt{1-e^2}},$

$c:=sqrt{a^2-b^2}=frac{pe}{1-e^2},$

有原方程就是原点在右焦点的椭圆标准方程

$frac{(x+c)^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

注意到 $frac{c}{a}=e$ ，可见前面定义的拉普拉斯矢量的大小就是椭圆的离心率。

(3) e>1 ；

与上例类似，仿照不难，可证此时轨道满足双曲线方程。此种轨道与椭圆在形式上比较一致，此处为节省时间故略去（证明留作习题）。

最后简单地证明开普勒第三定律。

开普勒第三定律（周期定律）对于围绕太阳运动的所有行星，其轨道周期的平方和半长轴的立方间的比值为一定值。

$T=frac{S}{dot{S}}=frac{2pi ab}{H}=frac{2pi a^2sqrt{1-e^2}}{sqrt{mu p}}=frac{2pi}{sqrt{mu}}a^{frac{3}{2}},$

从而有

$frac{T^2}{a^3}=frac{4pi^2}{mu}.$

考虑到太阳的质量（不妨设为 m_1 ）远大于行星的质量，即 m_1gg m_2 ，有

$frac{T^2}{a^3}approxfrac{4pi^2}{{G}m_1}=mathrm{const.}$

活力公式

我们已经得到了二体运动的轨道积分、6个质心运动积分和3个角动量积分。下面导出另一个重要的运动积分。

用 dot{bm{r}} 点乘相对运动方程，有

$dot{bm{r}}cdotddot{bm{r}}=-frac{mu}{r^3}dot{bm{r}}cdotbm{r}.$

注意到

$dot{bm{r}}cdotddot{bm{r}}=frac{1}{2}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}(dot{bm{r}}cdotdot{bm{r}}),$

$-frac{dot{bm{r}}cdotbm{r}}{r^3}=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}(frac{1}{r}),$

待处理式可积分为

$frac{1}{2}dot{bm{r}}cdotdot{bm{r}}-frac{mu}{r}=K,$

称为能量积分（活力积分）。通过取轨道特定位置进行计算，可以将积分常数一般地表示出来。以椭圆为例，不妨取近拱点时刻，也就是 r=a-c=a(1-e) 时刻。此时天体的距离达到极值，也就意味着 dot{r}=0 ，有

$dot{bm{r}}=dot{r}hat{bm{r}}+rdot{theta}hat{bm{theta}}=frac{H}{r}hat{bm{theta}}=frac{sqrt{mu a(1-e^2)}}{a(1-e)}hat{bm{theta}},$

则

$K=frac{1}{2}frac{sqrt{mu a(1-e^2)}}{a(1-e)}cdotfrac{sqrt{mu a(1-e^2)}}{a(1-e)}-frac{mu}{a(1-e)}=-frac{mu}{2a}.$

活力积分化为

$frac{1}{2}v^2-frac{mu}{r}=-frac{mu}{2a},$

即

$v^2={G}(m_1+m_2)(frac{2}{r}-frac{1}{a}),$

也就是所谓的活力公式。

圆型限制性三体问题

这里不加证明地说明以下事实：

不要指望用以上处理二体问题的方法来对任意的三体问题都给出解析解。

但是，在某些特殊的情况下，三体问题的确是可解的。这里对一种常见的情况做出叙述。

考虑两个大天体 m_1 和 m_2 以圆轨道（ e=0 ）相互绕转，我们引入第三个小天体 m_3 满足 m_3ll m_1 且 m_3ll m_2 ，在操作上也就是 m_3 的引入不对原来的大天体 m_1 和 m_2 的相互绕转产生任何影响，但是大天体 m_1 和 m_2 的引力共同作用于小天体 m_3 上。在这种情况下，考虑大天体 m_1 和 m_2 的随动质心参考系（原点在大天体 m_1 和 m_2 的质心，参考系随着大天体 m_1 和 m_2 互相绕转而转动），大天体 m_1 和 m_2 保持静止，我们能找到5个定点，使得位于这5个定点的小天体 m_3 与大天体 m_1 和 m_2 保持相对静止，也就是说小天体 m_3 与大天体 m_1 和 m_2 的公转角速度相同，这5个点称为拉格朗日平动点。具体位置如图^{[4] 所示。这种情况称为圆形限制性三体问题，圆形指的是大天体和的轨道是圆，限制性指的是引入的第三个小天体的质量远小于两个主天体。}

位力定理

我们先解决了二体运动的问题，又考虑了特定条件下三体运动的问题，有没有处理N体问题的通用技巧呢？本节介绍一个重要的定理。

我们先定义一个标量

$A:=sum_{i=1}^{N}{bm{p}_icdotbm{r}_i},$

对时间求导，可得

$dot{A}=sum_{i=1}^{N}{bm{p}_icdotdot{bm{r}}_i}+sum_{i=1}^{N}{dot{bm{p}}_icdotbm{r}_i}=2T+sum_{i=1}^{N}{bm{F}_icdotbm{r}_i},$

其中是质点系的总动能， $bm{F}_i$ 是作用在质点上的合外力。考虑这样的质点系：质点系是稳定且有界的，质点间只有简单的牛顿万有引力作用，也就是说质点系是引力弛豫的。那么有

$sum_{i=1}^{N}{bm{F}_icdotbm{r}_i}=sum_{i=1}^N{(sum_{jne i}^{N}{{G}frac{m_im_j}{r_{ij}^3}bm{r}_{ij})}cdotbm{r}_i}=sum_{i=1}^N{sum_{jne i}^{N}{{G}frac{m_im_j}{r_{ij}^3}bm{r}_icdot bm{r}_{ij}}}.$

对于这 N(N-1) 个式子的求和，可以找到 N(N-1)/2 个形如 ${G}frac{m_km_l}{r_{kl}^3}bm{r}_kcdotbm{r}_{kl}+ {G}frac{m_lm_k}{r_{lk}^3}bm{r}_lcdotbm{r}_{lk};;(k>l)$

的和，注意到

$bm{r}_kcdotbm{r}_{kl}+bm{r}_lcdotbm{r}_{lk}= bm{r}_kcdotbm{r}_{kl}-bm{r}_lcdotbm{r}_{kl}= (bm{r}_k-bm{r}_l)cdot bm{r}_{kl}=bm{r}_{lk}cdotbm{r}_{kl}=-r_{kl}^2,$

有

$sum_{i=1}^{N}{bm{F}_icdotbm{r}_i}=sum_{i=1}^N{sum_{jne i}^{N}{{G}frac{m_im_j}{r_{ij}^3}bm{r}_icdot bm{r}_{ij}}} =sum_{i=1}^N{sum_{j>i}^{N}{-{G}frac{m_im_j}{r_{ij}}}}=U,$

是总引力势能。注意到最后一个求和的指标恰好是 j>i ，避免了重复计算。带回 dot{A} 的表达式，得到

dot{A}=2T+U.

对一足够长时间段 tautoinfty 求平均，由于系统稳定有界，故

$langledot{A}rangle_{tautoinfty}=lim_{taurightarrow infty}{frac{int_{t_0}^{t_0+tau}{dot{A}mathrm{d}t}}{tau}}=lim_{taurightarrow infty}{frac{A(t_0+tau)-A(t_0)}{tau}}=0.$

即得

2langle Trangle+langle Urangle=0.

以上结论说明有界的引力束缚系统的平均动能是平均势能的一半。由于 2langle Trangle+langle Urangle=langle Trangle +langle U+Trangle =0 ，有 langle Trangle=-langle U+Trangle ，由系统机械能守恒，说明系统的平均动能是常数，与机械能成相反数关系。这里因为是质点系，所以不考虑每个粒子的转动或形变。

附录

可能有读者注意到了，在上文中，我们多次提到了“积分”，如“质心运动积分”、“角动量积分”、“轨道积分”、“能量积分”。实际上，我们要解微分方程，就是要寻找它的积分。对应到解决天体力学问题中，可以看出，二体问题就是常微分方程构成的动力系统。要解二体问题就要找出它的首次积分。两个自由的天体构成的系统具有12个自由度（两个天体各自的位置、速度），而两个天体的两个绝对运动方程可以化为12个一阶微分方程（两个天体的运动方程都是三维二阶的）。因此应当能够找到12个相互独立的运动积分而将二体问题解出。我们导出的前9个运动积分（6个质心运动积分、3个角动量积分）显然是相互独立的，积分常数分别表征质心的运动情况和两个天体的角动量。而轨道积分中的拉普拉斯矢量 bm{e} 虽然是三维向量，但是考察 bm{e} 的来历就会发现 bm{e} 是一定位于不变平面内的，也就是其实 bm{e} 的三个分量不是完全独立的，而是只能对应2个运动积分，几何上讲分别表征轨道的指向和偏心率大小。把写成 theta-omega 或许更能表现这一点： theta 是天体的辐角，但是轴和椭圆长轴的夹角 omega 由什么确定呢？答案就是 bm{e} 的方向。这个时候，与其说拉普拉斯矢量 bm{e} 是积分常数，不如说 omega 和是轨道积分中的积分常数（也可以说拉普拉斯矢量 bm{e} 对应3个运动积分，但其中一个和角动量积分相互不独立）。那此时能量积分就是最后1个要找的运动积分了？其实可以发现积分常数是能够由和导出的，也就是说能量积分和角动量积分与轨道积分不独立。真正的最后一个积分应该如下导出。导出结果称为开普勒方程。现导出最后一个运动积分，以椭圆轨道为例，其它相似不难（推导留作习题）。

由 $v^2=dot{r}^2+r^2dot{theta}^2,$

有 $dot{r}^2=mu(frac{2}{r}-frac{1}{a})-frac{mu a(1-e^2)}{r^2}=frac{mu}{ar^2}left[a^2e^2-(r-a)^2right],$

则 $frac{mathrm{d}r}{mathrm{d}t}=sqrt{frac{mu}{ar^2}left[a^2e^2-(r-a)^2right]}=frac{1}{r}sqrt{frac{mu}{a^3}}left[asqrt{a^2e^2-(r-a)^2}right],$

定义平均角速度 $n:=frac{2pi}{T}$ ，有

$nmathrm{d}t=sqrt{frac{4pi^2}{T^2}}mathrm{d}t=sqrt{frac{mu}{a^3}}mathrm{d}t=frac{rmathrm{d}r}{asqrt{a^2e^2-(r-a)^2}},$

定义偏近点角使得 r=a(1-ecos E) ，代回上式，积分得到开普勒方程

E-esin E=nt+M_0=n(t-tau)=M,

其中 tau 为过近点时刻，称为平近点角。

有了这最后一个积分，12个运动积分齐了，二体问题也就确定是可解的了。进一步，1843年雅可比证明对于阶动力系统，只需要找到 m-2 个独立的首次积分，就可以完全解出。对于二体问题而言，这就意味着当我们找到了质心运动、角动量、能量这10个最易于导出的独立的运动积分，就可以说二体问题已经被完全解决了。不过对于任意N体问题，质心运动、角动量和能量积分这10个运动积分尽管是可以找到的（故被称为经典积分），但是这些积分的数量远小于问题的阶数。

参考

^李广宇．天体测量和天体力学基础．2021．北京：科学出版社．
^周济林．天体力学基础．2021．北京：高等教育出版社．
^KzcJimmy https://www.pixiv.net/users/1055664
^Murray, C. D., & Dermott, S. F. Solar System Dynamics. 1999. Cambridge University Press.

文章标题: 面向高中生的天体力学入门

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文章标签：天体力学天文科普高中生

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