为什么动力学方程是二阶的

如图，以液体中的弹簧振子为例，介绍阻尼振动的动力学方程。

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

对物块应用牛顿第二定律：

为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程。

阻尼振动是指，由于振动系统受到摩擦和介质阻力或其他能耗而使振幅随时间逐渐衰减的振动，又称减幅振动、衰减振动。[1] 不论是弹簧振子还是单摆由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动．因为振幅与振动的能量有关，阻尼振动也就是能量不断减少的振动．阻尼振动是非简谐运动．阻尼振动系统属于耗散系统。这里的阻尼是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

摩擦阻尼

由于摩擦阻力(包括介质粘滞阻力)使振动系统的能量逐渐转变为热运动能量，常称为摩擦阻尼。[1] 例如单摆摆动的过程中振幅减小或停下来就是由于系统的阻力作用使摆的机械能转化为空气的内能．

辐射阻尼

由于振动系统引起周围介质的振动，使系统的能量转变为波动的能量向四周辐射出去，常称为辐射阻尼。[1] 例如：琴弦发出声音不仅因为有空气的阻力要消耗能量，同时也因为以波的形式辐射而减少能量。最后琴弦会停止振动。

当阻尼很小时，在一段不太长的时间看不出振幅有明显的减小，就可以把它当作简谐运动来处理．

如图，以液体中的弹簧振子为例，介绍阻尼振动的动力学方程。[2] 

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

对物块应用牛顿第二定律：

为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程。

振动方程

编辑

上述⑴式方程的特征根：

阻尼振动的微分方程有三种不同形式的解，具体如下。

欠阻尼

即：

，则 ：

解为：

说明振动变慢（由于阻力作用）

振幅为

随时间的推移，

呈指数递减， 越大，振动衰减越快；

越小，振幅衰减越慢。

定义：

表示阻尼大小的标志，称对数减缩，即经过一个周期后，振幅的衰减系数。

过阻尼

即：

，则方程的解为：

⑶

其中：

、

由初始条件决定。

随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。

临界阻尼

即：

，则方程的解为：

其中：

、

由初始条件决定。

此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。 如图示。

应用

例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）

电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。

希望我能帮助你解疑释惑。

假设物体在某一时刻相对于斜面的速度为V，此时斜面的速度为u，那么物体相对于地面的水平速度为（u-vcos）θ）

如果系统水平方向的动量守恒，则：

Mu+m（u-vcosθ）=0

解为u=mvcosθ/（M+M）

两边的时间t积分：

∫udt=m/（m+m）∫vcosθdt

∫ UDT-----是斜面相对于地面的位移X

∫vcosθDT——物体相对于斜面的水平位移，即H/tanθ

因此，斜面的位移x=MH/（M+M）tanθ，

其实，直接用动力学基本方程（牛顿第二定律）分析也是可以的。