洛朗级数的物理意义是什么

洛朗级数是考虑解析域内有奇点存在，泰勒级数不考虑奇点。前者展开式有负幂次项，后者没有。后面一章讲的留数，就是指洛朗展开式中负一次幂的项的系数。相同点就是两者都属于幂级数。我就知道这么多啦。。。抱歉

（1）Z变换（英文：z-transformation）可将时域信号（即：离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。
数学上，Z变换也可以看作是一个洛朗级数。
（2）Z变换(Z-transform) 将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程，以简化求解过程的一种数学工具。Z是个复变量，它具有实部和虚部，常常以极坐标形式表示，即Z=rejΩ，其中r为幅值，Ω为相角。以Z的实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面称为Z平面，即离散系统的复域平面。离散信号系统的系统函数（或者、称传递函数）一般均以该系统对单位抽样信号的响应的Z变换表示。由此可见，Z变换在离散系统中的地位与作用，类似于连续系统中的拉氏变换。
Z变换具有许多重要的特性：如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个(或一系列各种）系统的处理后输出所需要的信号序列，因此，首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。通过理论分析可知，若直接在时域中求解，则由于输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和，故为求输出信号，必须进行繁琐的求卷积和的运算。而利用Z变换的卷积特性则可将这一过程大大简化。只要先分别求出输入信号序列及系统的单位抽样响应序列的Z变换，然后再求出二者乘积的反变换即可得到输出信号序列。这里的反变换即逆Z变换，是由信号序列的Z变换反回去求原信号序列的变换方式。

Z变换中，z^-1的物理意义：乘上一个z^-1算子，相当于延时1个采样周期T，z^-1可称为单位延迟因子

这个函数有两个奇点i和-i,所以收敛域是0<|z-i|<2,只能在这个圆环内展开成洛朗级数.
f(z)=1/(z-i)²*1/(z+i)²

=1/(z-i)²*1/[(z-i)+2i]²
因0<|z-i|<2,所以有0<|(z-i)/2i|<1
f(z)=1/(z-i)²*1/(2i)²*1/[1+(z-i)/2i]²
令(z-i)/2i=t,因当0<|t|<1时1/(1+t)²=1-2t+3t²-4t³+...,把t换成(z-i)/2i,得
f(z)=-1/4*1/(z-i)²*[1-(z-i)/i-3(z-i)²/4+(z-i)³/2i+...]
=-1/4(z-i)²+1/4i(z-i)+3/16-(z-i)/8i+...

洛朗展式中的系数和泰勒展式一样都是由展成的级数形式推导的，并且系数都具有唯一性，或者展式都具有唯一的形式。因此特殊情况(解析)的泰勒展式与洛朗展式的形式是一样的,意义自然不一样(因为不解析).

从形式上看，洛朗级数有幂次为负数的项，而泰勒级数没有。
但这只是表面现象，这两者本质上的不同在于，洛朗级数是在孤立奇点的邻域的级数展开，它的定义域是一个环状的区域：r<=|z|<=R
洛朗级数的正则部分（也就是幂次非负的部分）是在|z|<=R有效的，而主要部分（也就是幂次为负的部分）是在r<=|z|处有效的，两者都有定义的部分就是那个环状区域。

实际上，泰勒级数是更基本的。洛朗级数的正则部分就是这个孤立奇点附近的关于z的泰勒级数，而其主要部分则是无穷远点附近的关于1/z的泰勒级数。也就是说洛朗级数是两个泰勒级数的和。