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复数的浪漫（1）复数的三角表示与旋转

时间: 2022-05-01 21:30:13 | 作者：赵淦 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 101次

复数的浪漫（1）复数的三角表示与旋转

传统教材定义复数时，总是先规定 i^2=-1 ，再说复数是形如 a+bi 的东西，这样的定义虽然合乎发现复数的历史，但没有表现处复数的几何意义，接下来的文章中，我们将重点关注复数的几何性质

从某种意义上来说，复数就是向量。在 x - y 坐标系中，如果我们用实轴代替 x 轴，用虚轴代替 y 轴，得到的就是复平面 mathbb{C} .平面内的任何一个向量都是一个复数

就像对向量正交分解那样，我们也可以对复数执行这样的操作。如果复数 z 在实轴上的投影为 a ，在虚轴上的投影为 b ，我们就称 a 是 z 的实部， b 是 z 的虚部。这是我们表示向量的第一种形式：

z=a+bi

复数加法的定义与向量如出一辙，设 z_1=a_1+b_1i,,z_2=a_2+b_2i ，则：

z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

与向量不同的是，复数可以定义乘法和除法，设 z_1=a_1+b_1i,,z_2=a_2+b_2i ，则：

z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i

frac{z_1}{z_2}=left(frac{ac+bd}{c^2+d^2}right)+left(frac{bc-ad}{c^2+d^2}right)i

至于为什么要这样下定义，我们稍后再探讨

现在我们换一种方式看待复数：复数 z 肯定有长度 rho ，我们称之为 z 的模长；它与实轴成一个夹角 theta ，我们称之为 z 的辐角。确定了模长和辐角，可以确定唯一一个复数。这就是复数的三角表示：

z=rho (cos theta+isin theta)

三角表示具有十分直观的意义，在本系列文章中，它甚至比坐标表示更重要

现在，让我们借助复数的三角表示更加深入地考察复数乘法的意义。

如果 z_1=rho_1(cos theta_1+isintheta_1),z_2=rho_2(costheta_2+isintheta_2) ，根据我们前面的定义：

begin{eqnarray} z_1z_2&=&rho_1rho_2(costheta_1costheta_2-sintheta_1sintheta_2)+irho_1rho_2(costheta_1sintheta_2+costheta_2sintheta_1) &=&rho_1rho_2cos(theta_1+theta_2)+rho_1rho_2sin(theta_1+theta_2) &=&rho_1rho_2left[cos(theta_1+theta_2)+sin(theta_1+theta_2)right] end{eqnarray}

这深刻地揭示了复数乘法的几何意义：两复数相乘，其模长相乘，辐角相加

同样地，我们能得到：两复数相除，其模长相除，辐角相减

现在，我们可以通过乘法实现复平面内的“旋转”，例如， i 的模长为 1 ，辐角为 frac{pi}2 ，故，一个复数乘以 i ，实际上就是将它逆时针旋转 90^circ ，如下图所示

同样地，一个复数乘以 1 就是保持不变，乘以 -1 就是将它逆时针旋转 180^circ ，乘以 frac{sqrt{2}}2+frac{sqrt{2}}2i 就是逆时针旋转 45^circ

用三角表示看待复数乘法往往能使问题得到简化，比如， i^2=-1 不再是莫名其妙的规定，它有了明确的意义：逆时针旋转 90^circ ，旋转两次，相当于逆时针旋转 180^circ

再比如，我们都知道三次方程 x^3-1=0 有根：omega=frac{-1pmsqrt{3}}{2}

如果我们把 omega 三角表示，我们会发现，它的模长为 1 ，辐角为 120^circ 或 240^circ .三个这样的复数相乘，得到的复数模长一定是 1 ，辐角为 360^circ 或 720^circ ，显然，它就是 1

于是，我们可以发现 x^3-1=0 的三个根等距分布在单位圆周上

类似地，对一切形如 x^n-1=0 的方程，这个结论总是成立的，读者不妨试试看

通过复数乘法的几何意义，我们还容易得到复数中很重要的棣莫弗定理：

boxed{(costheta+isintheta)^n=cos ntheta+isin ntheta}

让我们在等号左边的式子添上个 1 ，原式就变成了：

1cdot(costheta+isintheta)cdot(costheta+isintheta)dots=cos ntheta+isin ntheta

这下事情就明了了： 1 的模长是 1 ，辐角是 0 ， costheta+isintheta 的模长也是 1 ，每乘一个 costheta+isintheta ，就相当于逆时针旋转 theta ，连续乘 n 次，得到的必然是模长为 1 ，辐角为 ntheta 的复数，就是等号右边的式子

文章标题: 复数的浪漫（1）复数的三角表示与旋转
文章地址: http://www.xdqxjxc.cn/jingdianwenzhang/137610.html
文章标签：数学  复变函数  科普
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