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复数的浪漫(1)复数的三角表示与旋转

时间: 2022-05-01 21:30:13 | 作者:赵淦 | 来源: 喜蛋文章网 | 编辑: admin | 阅读: 99次

复数的浪漫(1)复数的三角表示与旋转

传统教材定义复数时,总是先规定 i^2=-1 ,再说复数是形如 a+bi 的东西,这样的定义虽然合乎发现复数的历史,但没有表现处复数的几何意义,接下来的文章中,我们将重点关注复数的几何性质

从某种意义上来说,复数就是向量。在 x - y 坐标系中,如果我们用实轴代替 x 轴,用虚轴代替 y 轴,得到的就是复平面 mathbb{C} .平面内的任何一个向量都是一个复数

就像对向量正交分解那样,我们也可以对复数执行这样的操作。如果复数 z 在实轴上的投影为 a ,在虚轴上的投影为 b ,我们就称 az 的实部, bz 的虚部。这是我们表示向量的第一种形式:

z=a+bi

复数加法的定义与向量如出一辙,设 z_1=a_1+b_1i,,z_2=a_2+b_2i ,则:

z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

与向量不同的是,复数可以定义乘法和除法,设 z_1=a_1+b_1i,,z_2=a_2+b_2i ,则:

z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i

frac{z_1}{z_2}=left(frac{ac+bd}{c^2+d^2}right)+left(frac{bc-ad}{c^2+d^2}right)i

至于为什么要这样下定义,我们稍后再探讨

现在我们换一种方式看待复数:复数 z 肯定有长度 rho ,我们称之为 z 的模长;它与实轴成一个夹角 theta ,我们称之为 z 的辐角。确定了模长和辐角,可以确定唯一一个复数。这就是复数的三角表示:

z=rho (cos theta+isin theta)

三角表示具有十分直观的意义,在本系列文章中,它甚至比坐标表示更重要

现在,让我们借助复数的三角表示更加深入地考察复数乘法的意义。

如果 z_1=rho_1(cos theta_1+isintheta_1),z_2=rho_2(costheta_2+isintheta_2) ,根据我们前面的定义:

begin{eqnarray} z_1z_2&=&rho_1rho_2(costheta_1costheta_2-sintheta_1sintheta_2)+irho_1rho_2(costheta_1sintheta_2+costheta_2sintheta_1) &=&rho_1rho_2cos(theta_1+theta_2)+rho_1rho_2sin(theta_1+theta_2) &=&rho_1rho_2left[cos(theta_1+theta_2)+sin(theta_1+theta_2)right] end{eqnarray}

这深刻地揭示了复数乘法的几何意义:两复数相乘,其模长相乘,辐角相加

同样地,我们能得到:两复数相除,其模长相除,辐角相减

现在,我们可以通过乘法实现复平面内的“旋转”,例如, i 的模长为 1 ,辐角为 frac{pi}2 ,故,一个复数乘以 i ,实际上就是将它逆时针旋转 90^circ ,如下图所示

同样地,一个复数乘以 1 就是保持不变,乘以 -1 就是将它逆时针旋转 180^circ ,乘以 frac{sqrt{2}}2+frac{sqrt{2}}2i 就是逆时针旋转 45^circ

用三角表示看待复数乘法往往能使问题得到简化,比如, i^2=-1 不再是莫名其妙的规定,它有了明确的意义:逆时针旋转 90^circ ,旋转两次,相当于逆时针旋转 180^circ

再比如,我们都知道三次方程 x^3-1=0 有根:omega=frac{-1pmsqrt{3}}{2}

如果我们把 omega 三角表示,我们会发现,它的模长为 1 ,辐角为 120^circ240^circ .三个这样的复数相乘,得到的复数模长一定是 1 ,辐角为 360^circ720^circ ,显然,它就是 1

于是,我们可以发现 x^3-1=0 的三个根等距分布在单位圆周

类似地,对一切形如 x^n-1=0 的方程,这个结论总是成立的,读者不妨试试看

通过复数乘法的几何意义,我们还容易得到复数中很重要的棣莫弗定理

boxed{(costheta+isintheta)^n=cos ntheta+isin ntheta}

让我们在等号左边的式子添上个 1 ,原式就变成了:

1cdot(costheta+isintheta)cdot(costheta+isintheta)dots=cos ntheta+isin ntheta

这下事情就明了了: 1 的模长是 1 ,辐角是 0costheta+isintheta 的模长也是 1 ,每乘一个 costheta+isintheta ,就相当于逆时针旋转 theta ,连续乘 n 次,得到的必然是模长为 1 ,辐角为 ntheta 的复数,就是等号右边的式子

文章标题: 复数的浪漫(1)复数的三角表示与旋转
文章地址: http://www.xdqxjxc.cn/jingdianwenzhang/137610.html
文章标签:数学  复变函数  科普
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